[用户互动]重心、垂心、内心和外心

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更多发布于：2017-11-19 16:27

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http://www.so.com/s?q=%E9%87%8D%E5%BF%83&、http://www.so.com/s?q=%E5%9E%82%E5%BF%83&、http://www.so.com/s?q=%E5%86%85%E5%BF%83&和http://www.so.com/s?q=%E5%A4%96%E5%BF%83&。正心是只有http://www.so.com/s?q=%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&才具有的，此时这http://www.so.com/s?q=%E5%9B%9B%E5%BF%83&合一。

一、重心是http://www.so.com/s?q=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&三边http://www.so.com/s?q=%E4%B8%AD%E7%BA%BF&的http://www.so.com/s?q=%E4%BA%A4%E7%82%B9&
重心的几条性质：
1、重心到http://www.so.com/s?q=%E9%A1%B6%E7%82%B9&的http://www.so.com/s?q=%E8%B7%9D%E7%A6%BB&与重心到http://www.so.com/s?q=%E5%AF%B9%E8%BE%B9&http://www.so.com/s?q=%E4%B8%AD%E7%82%B9&的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个http://www.so.com/s?q=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF&相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的http://www.so.com/s?q=%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C&最小。
4、在http://www.so.com/s?q=%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB&中，重心的http://www.so.com/s?q=%E5%9D%90%E6%A0%87&是http://www.so.com/s?q=%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%9D%90%E6%A0%87&的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。证明：刚才证明三线交http://www.so.com/s?q=%E4%B8%80%E6%97%B6&已证。
6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

二、垂心是三角形的三条高的交点
垂心的性质：
设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为http://www.so.com/s?q=%E5%9E%82%E8%B6%B3&，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、http://www.so.com/s?q=%E9%94%90%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； 3、垂心H关于三边的http://www.so.com/s?q=%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%82%B9&，均在△ABC的http://www.so.com/s?q=%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86&上。
4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过H的http://www.so.com/s?q=%E7%9B%B4%E7%BA%BF&交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其http://www.so.com/s?q=%E5%86%85%E5%88%87%E5%9C%86&与外接圆http://www.so.com/s?q=%E5%8D%8A%E5%BE%84&之和的2倍。
11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的http://www.so.com/s?q=%E5%86%85%E6%8E%A5%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&(顶点在原三角形的http://www.so.com/s?q=%E8%BE%B9%E4%B8%8A&)中，以垂足三角形的http://www.so.com/s?q=%E5%91%A8%E9%95%BF&最短。
12、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引http://www.so.com/s?q=%E5%9E%82%E7%BA%BF&的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、设锐角⊿ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三、内心是三角形http://www.so.com/s?q=%E4%B8%89%E6%9D%A1&http://www.so.com/s?q=%E5%86%85%E8%A7%92&平分线的交点，即内切圆的http://www.so.com/s?q=%E5%9C%86%E5%BF%83&。
三角形内心的性质设⊿ABC的内切圆为⊙O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、三角形的三条http://www.so.com/s?q=%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF&交于一点，该点即为三角形的内心．
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
3、r=S/p．证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。 △ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
5、∠BOC=90°+A/2．
6、点O是http://www.so.com/s?q=%E5%B9%B3%E9%9D%A2&ABC上任意一点，点O是⊿ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
10、（内角平分线分三边长度关系）角平分线分对边与该角的http://www.so.com/s?q=%E4%B8%A4%E8%BE%B9&成比例。

四、外心是三角形三条边的http://www.so.com/s?q=%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF&的相交点。即外接圆的圆心。用这个点做圆心可以画三角形的外接。
外心的性质：外心到三角形的三个顶点距离相等圆。

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