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第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则 两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 三、集合的运算 [table=480][tr][td=1,1,48] 运算类型 [/td][td=1,1,132]交 集 [/td][td=1,1,144]并 集 [/td][td=1,1,156]补 集 [/td][/tr][tr][td=1,1,48]定 义 [/td][td=1,1,132]
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.[/td][td=1,1,144] 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并B’),即AB ={x|xA,或xB}).[/td][td=1,1,156] 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集) 记作,即 CSA=[/td][/tr][tr][td=1,1,48] 韦 恩 图 示 [/td][td=1,1,132][/td][td=1,1,144][/td][td=1,1,156][/td][/tr][tr][td=1,1,48]性 质 [/td][td=1,1,132]
AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB[/td][td=1,1,144] AA=A AΦ=A AB=BA A[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img18492.PNG[/img]B[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img18747.PNG[/img]A A[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img18151.PNG[/img]B[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img04249.PNG[/img]B[/td][td=1,1,156] (CuA) [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img23896.PNG[/img] (CuB) = Cu (A[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img25548.PNG[/img]B) (CuA) [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img03017.PNG[/img] (CuB) = Cu(A[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img07538.PNG[/img]B) A[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img22667.PNG[/img] (CuA)=U A[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc32e7.tmp/img28721.PNG[/img] (CuA)= Φ.[/td][/tr][/table] 二、函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的 任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集 合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定 义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; ( 4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义 的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一 致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的 点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关 系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中 的 任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc35e9.tmp/img13874.PNG[/img]B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc35e9.tmp/img05251.PNG[/img]B(象)” 对于映射f:A→B来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x 2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调 增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就 说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; ( 2 ) 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降 的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 任取x1,x2∈D,且x1<x2; 作差f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方); 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成 其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 确定f(-x)与f(x)的关系; 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(- x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是 否 关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x) ±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出 它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最 大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最 小值f(b); 第二章 基本初等函数
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img14125.PNG[/img],那么[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img24441.PNG[/img]叫做[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img07582.PNG[/img]的[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img30787.PNG[/img]次方根,其中[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img14980.PNG[/img]>1,且[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img02274.PNG[/img]∈[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img31569.PNG[/img]*. 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img29850.PNG[/img]。 当[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img07020.PNG[/img]是奇数时,[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img08608.PNG[/img],当[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img18169.PNG[/img]是偶数时,[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img30531.PNG[/img] 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img27867.PNG[/img],[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img00605.PNG[/img] 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img00484.PNG[/img]· [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img06746.PNG[/img] [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img17988.PNG[/img]; (2) [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img29521.PNG[/img] [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img26554.PNG[/img]; (3) [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img11777.PNG[/img] [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img28184.PNG[/img]. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img15545.PNG[/img]叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 [table=532][tr][td=1,1,266] a>1[/td][td=1,1,266] 0<a<1[/td][/tr][tr][td=1,1,266] [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img03352.PNG[/img][/td][td=1,1,266] [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img27755.PNG[/img][/td][/tr][tr][td=1,1,266] 定义域 R[/td][td=1,1,266] 定义域 R[/td][/tr][tr][td=1,1,266] 值域y>0[/td][td=1,1,266] 值域y>0[/td][/tr][tr][td=1,1,266] 在R上单调递增[/td][td=1,1,266] 在R上单调递减[/td][/tr][tr][td=1,1,266] 非奇非偶函数[/td][td=1,1,266] 非奇非偶函数[/td][/tr][tr][td=1,1,266] 函数图象都过定点(0,1)[/td][td=1,1,266] 函数图象都过定点(0,1)[/td][/tr][/table] 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img03469.PNG[/img]值域是[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img07044.PNG[/img]或[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img20859.PNG[/img]; (2)若[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img13364.PNG[/img],则[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img20894.PNG[/img];[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img28239.PNG[/img]取遍所有正数当且仅当[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img10336.PNG[/img]; (3)对于指数函数[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img15604.PNG[/img],总有[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img07507.PNG[/img]; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img11923.PNG[/img][img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img32169.PNG[/img],那么数[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img31251.PNG[/img]叫做以[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img12610.PNG[/img]为底[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img02589.PNG[/img]的对数,记作:[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img14659.PNG[/img]([img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img08159.PNG[/img]— 底数,[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img27734.PNG[/img]— 真数,[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img12479.PNG[/img]— 对数式) 说明: 注意底数的限制[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img09734.PNG[/img],且[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img32475.PNG[/img]; [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img02511.PNG[/img]; 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 常用对数:以10为底的对数[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img10822.PNG[/img]; 自然对数:以无理数[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img16348.PNG[/img]为底的对数的对数[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img10586.PNG[/img]. 指数式与对数式的互化 幂值 真数 [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img00138.PNG[/img]= N[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img18603.PNG[/img][img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img11558.PNG[/img]= b 底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img05965.PNG[/img],且[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img26499.PNG[/img],[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img02702.PNG[/img],[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img26459.PNG[/img],那么: [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img15450.PNG[/img]·[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img00920.PNG[/img][img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img00479.PNG[/img]+[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img22258.PNG[/img]; [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img17454.PNG[/img][img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img25232.PNG[/img]-[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img04831.PNG[/img]; [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img26243.PNG[/img][img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img26899.PNG[/img][img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img10075.PNG[/img][img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img08007.PNG[/img]. 注意:换底公式 [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img20777.PNG[/img] ([img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img06341.PNG[/img],且[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img27547.PNG[/img];[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img29126.PNG[/img],且[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img12330.PNG[/img];[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img23425.PNG[/img]). 利用换底公式推导下面的结论 (1)[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img23140.PNG[/img];(2)[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img32177.PNG[/img]. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img03034.PNG[/img],且[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img12640.PNG[/img]叫做对数函数,其中[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img26688.PNG[/img]是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意: 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img18167.PNG[/img],[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img29628.PNG[/img] 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 对数函数对底数的限制:[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img23011.PNG[/img],且[img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img19575.PNG[/img]. 2、对数函数的性质: [table=537][tr][td=1,1,248] a>1[/td][td=2,1,289] 0<a<1[/td][/tr][tr][td=1,1,248] [img]file:///C:/DOCUME~1/aaa/LOCALS~1/Temp/13fc3c4a.tmp/img01619.PNG[/img][/td][td |
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沙发#
发布于:2016-07-11 12:55
哈哈,好!沙发
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板凳#
发布于:2016-07-11 12:56
还是没有人?那来一个板凳
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地板#
发布于:2016-07-11 13:00
没人啊,我来捧捧场,地板。
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