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[学习方法]逆向思维解题的方法

楼主#
更多 发布于:2015-07-18 14:15
建议大家到原网页看(地址在下面)
 
思维就是人的理性认识的过程,根据思维过程的指向性,可将思维分为:常规思维(正向思维)和逆向思维,中学数学课本中的逆向思维,中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性,在数学解题中,通常是从已知到结论的思维方式,然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难,而且常常伴随有较大的运算量,有时甚至无法解决,在这种情况下,只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用,正难则反,往往可以使
问题简化,经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。
1.定义的逆用

在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法,但定义的逆用容易被人们忽视,只要我们重视定义的逆用,进行逆向思维,就能使有些问题解答简捷。
例1
若化简|1-x|—|x-4|的结果为2x-5,求x的取值范围。
分析:原式=|1-x|-|x-4|

根据题意,要化成:x-1-(4-x)=2x-5
从绝对值概念的反方向考虑,推出其条件是:
1-x≤0,且x-4≤0

∴x的取值范围是:1≤x≤4
例2、 的值是______.
分析:常见的方法是先解出a,b的值,然后再代入 中求解,这样将十分麻烦,但如果我们逆用方程根的定义,把 化成 ,把 , 看成是一个方程的两个根,这样可以使此题的运算量减少,解答非常简捷。
解:
例3.设 ,求
分析:常见的方法是:先求反函数 ,然后再求 的值,但只要我们逆用反函数定义,令f(x)=0,解出x的值即为 的值, =1。
例4. 如图已知
在一个周期内的图象,求其解析式。
分析:由已知易得周期T=π,ω=2,此题的难点是定φ,而且极易出错,只要我们逆用“五点法”的定义,则问题极易解决,其中点 为“五点法”中的第三点,其相为π。即: ,所以 ,最后定A= ,所以
2.式的逆用

对于定理而言,众所周知,不是所有的定理的逆命题都是正确的,但是,在教学中重视引导学生探讨定理的逆命题是否正确,不失是指导学生研究新问题的一个有效方法,它对于激发学生的学习兴趣和指导学生正确地运用逆定理解题,更具有重要意义。


例2、已知,在平行四边形ABCD中的AD和CD边上取E、F两点,且有AF=CE,AF与CE相交于O点,连接OB。求证:OB平分∠AOC
分析:我们知道角平分线定理,角平分线上的点到这个角两边距离相等。这道题要证OB平分∠AOC,只要用角平分线定理的逆定理,到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。所以只要证到OB上有一点到∠AOC两边的距离相等,那么问题就解决了。


例3.化简
分析:此题如果用和差角公式后再立方,则运算量太大,但我们只要联系与三次方有关的三倍角公式: ,变形逆用三倍角公式。
所以, 这样就可以使原式降次,然后用和差化积公式,就能很快得出结果
例4..已知:

,所以原不等式成立。
3.逆向分析法

分析法的实质是“执果索因”,要证明结论成立,只需找使结论成立的充分条件即可。这种方法在证明题中用得较多,这也是逆向思维在数学解题中的具体运用。
  1. 设f (x)=tanx,[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image056.gif[/img] ,当[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image058.gif[/img] 时,且x1≠x2,证明:[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image060.gif[/img]

分析:要证明原不等式成立,即证
[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image062.gif[/img] 只需证
[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image064.gif[/img] 即证
[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image066.gif[/img][img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image068.gif[/img]
即[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image070.gif[/img]
([img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image072.gif[/img] )
[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image074.jpg[/img][img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image076.jpg[/img]
2.反证法
反证法就是把假设结论的反面成立,由此导出与题设、定义、公理相矛盾的结论,从而推翻假设,肯定结论的证明方法,这种应用逆向思维的方法,可使很多问题处理起来相当简捷。
例1.有f(x)=x2+ax+b
求证:|f(1)|、|f(2)、|f(3)|中至少有一个不小于[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image078.gif[/img] 。
分析:此题直接证比较困难,但只要用反证法则较为简便。
设[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image080.gif[/img][img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image082.gif[/img] 、[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image084.gif[/img][img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image082_0000.gif[/img] 、[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image086.gif[/img][img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image082_0001.gif[/img]
所以[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image080_0000.gif[/img] +2[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image084_0000.gif[/img] +[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image086_0000.gif[/img][img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image082_0002.gif[/img] +1+[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image078_0000.gif[/img] =2 (1)
但[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image080_0001.gif[/img] +2[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image084_0001.gif[/img] +[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image086_0001.gif[/img] ≥[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image080_0002.gif[/img] -2[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image084_0002.gif[/img] +[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image086_0002.gif[/img]
=|(1+a+b)-2(4+2a+b)+(9+3a+b)|=2 (2)
  1. 与(2)矛盾,所以假设不成立,故原结论成立。
    [img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image089.jpg[/img] 如图,已知a、b为异面直线,A、B∈a,C、D∈b,求证:AC和BC是异面直线。

分析:如果按异面直线的定义直接证明比较困难,但如果从反面证明则比较简单,如果AB与CD
共面,则得出a、b共面,与a、b是异面直线矛盾,因此,AB、CD为异面直线。
  1. 逆向排除法


在有些数学问题中,正面复杂,反面简单,只要逆向分析,进行排除,就能使问题得到简捷的解答,同时这也是解有些选择题的有效捷径解法。

若二次函数[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image091.gif[/img]
在区间[-1,1]内至少有一个点C,使f(C)>0,求实数p的取值范围。
分析:此题从反面分析,采取补集法则比较简单。
如果在[-1,1]内没有点满足f(C)>0
则[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image093.gif[/img]
取补集为[img]http://www.17jiaoyu.com/stzx/UploadFiles_8706/201506/djw201506260012_clip_image095.gif[/img]
,即为满足条件的p的取值范围。
综上所述:在数学解题中,根据问题的特点,在应常规数学思维的同时,注意逆向思维的应用,往往能使很多问题运算简化,对培养学生的数学思维,特别是培养学生思维的敏捷性,提高学生的数学能力具有重要的意义。
 
 
转载自网络
原网站http://www.17jiaoyu.com/stzx/czsx/zkmn/ntpt/201506/20150626135654_142757.html
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沙发#
发布于:2015-07-19 19:07
下面是什么?看不懂!
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发布于:2015-07-19 19:28
alice0311:下面是什么?看不懂!回到原帖
所以说让你到原网站看·~
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qylizhi
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发布于:2015-07-21 21:36
这是什么排版?
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发布于:2015-07-22 08:17
qylizhi:这是什么排版?回到原帖
所以要到原网站看·······
一年的经验怎么能用十年呢?
Konlin
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发布于:2015-07-27 19:21
O.o!乱码了
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6楼#
发布于:2015-07-27 19:22
Konlin:O.o!乱码了回到原帖
请到原网站看·
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asd185613481
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谢谢分享。
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发布于:2015-08-06 09:50
wbfcq:请到原网站看·回到原帖
亲 这句话你说了三遍了
山有木兮木有枝,心悦君兮君不知。
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