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8.函数f(x)的定义域为D,若对于任意的x1、x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D 上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;②fx3=12f (x);③f(1-x)=1-f(x).则f13+f18等于( ) A.34 B.12 C.1 D.23 解析:依题意得f(1)=1-f(0)=1,f12=1-f12,f12=12,f13=12f(1)=12,由函数f(x)在[0,1]上 为非减函数得,当13≤x≤12时,f(x)=12,则f38=12,又f13•38=12f38=14,即f18=14.因此有 f13+f18=34,选A. 答案:A 12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且FG.若对任意的x∈F,都有g(x)=f(x),则称g(x)为f (x)在G上的一个“延拓函数”.已知函数f(x)=2x(x≤0),若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数,且g(x) 是偶函数,则函数g(x)的解析式是( ) 解析:由题意得,当x≤0时,g(x)=f(x)=2x=2-|x|.又g(x)是偶函数,因此有g(-x)=g(x)恒成立. 当x>0时,-x<0,g(x)=g(-x)=2-x=12|x|.综上所述,g(x)=12|x|,选C. 答案:C 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上.) 14.对于函数f(x)=ax+1x-1(其中a为实数,x≠1),给出下面命题:①当a=1时,f(x)在定义域上为 单调增函数;②f(x)的图象关于点(1,a)对称;③对任意a∈R,f(x)都不是奇函数;④当a=-1时,f (x)为偶函数。其中正确命题的序号为________. 解析:对于①,当a=1时,f(x)=x+1x-1=1+2x-1在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上也是减 函数,因此①错;对于②,f(x)=ax+1x-1=a+a+1x-1,因此f(x)的图象关于点(1,a)对称,②正 确;对③④,由于定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,因此对任意a∈R,f(x)既不是奇 函数也不是偶函数,③正确,④错误;答案:②③ 16.设p,q,r∈N*,且q<r,定义函数如下:fp+qr=p+1 p是偶数p p是奇数,则 f4+20022001-f5-20012002=________. 解析:f4+20022001-f5-20012002 =f5+12001-f4+12002 =5-(4+1)=0. 答案:0 三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)已知f(x)=x+2,x≤-1,2x,-1<x<2,x22,x≥2,且f(a)=3,求a的值. 解析:①当a≤-1时,f(a)=a+2, 由a+2=3,得a=1,与a≤-1相矛盾,应舍去. ②当-1<a<2时,f(a)=2a, 由2a=3,得a=32,满足-1<a<2. ③当a≥2时,f(a)=a22, 由a22=3,得a=±6,又a≥2,∴a=6. 综上可知,a的值为32或6. 19.(本小题满分12分)函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值. 解析:由3-4x+x2>0得x>3或x<1, ∴M={x|x>3或x<1}, f(x)=-3×22x+2x+2=-32x-162+2512. ∵x>3或x<1,∴2x>8或0<2x<2, ∴当2x=16,即x=log216时,f(x)最大,最大值为2512,f(x)没有最小值. 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足f(x)+f(y)=f(x+y)+2,当x>0时,f(x)>2. (1)求证:f(x)在R上是增函数; (2)当f(3)=5时,解不等式f(a2-2a-2)<3. 解析:(1)证明:设x1<x2,则x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>2 ∵f(x)+f(y)=f(x+y)+2, ∴f(x+y)=f(x)+f(y)-2 ∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-2>2+f(x1)-2=f(x1). ∴f(x)在R上是增函数. (2)由题意知f(x+y)=f(x)+f(y)-2. ∴5=f(3)=f(1+2)=f(2)+f(1)-2 =f(1)+f(1)-2+f(1)-2=3f(1)-4. ∴f(1)=3. ∴不等式f(a2-2a-2)<3等价于 f(a2-2a-2)<f(1). 又f(x)在R上为增函数,∴a2-2a-2<1 即a2-2a-3<0,∴-1<a<3. 即原不等式的解集为{a|-1<a<3}. |
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沙发#
发布于:2015-12-04 13:24
想写就写吧。主要是帮自己保存下
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