[资料共享]高中数学-圆锥曲线

基础盘查一　椭圆的定义
(一)循纲忆知
掌握椭圆的定义，了解椭圆的简单应用．
(二)小题查验
1．判断正误
(1)平面内与两个定点F₁，F₂的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()
(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆()
答案：(1)×(2)×
2．(人教B版教材习题改编)已知椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1，作一个三角形，使它的一个顶点为焦点F₁，另两个顶点D，E在椭圆上且边DE过焦点F₂，则△F₁DE的周长为________．
答案：4a
3．已知圆(x＋2)²＋y²＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________．
解析：由题意可知|PM|＋|PN|＝|MA|＝6.又M(－2,0)，N(2,0)，∴动点P的轨迹是椭圆．
答案：椭圆
基础盘查二　椭圆的标准方程和几何性质
(一)循纲忆知
1．掌握椭圆的几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2．理解数形结合的思想．
(二)小题查验
1．(1)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()
(2)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()
(3)方程mx²＋ny²＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()
答案：(1)×(2)√(3)√
2．(人教A版教材习题改编)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________．
答案：25(x2)＋9(y2)＝1或9(x2)＋25(y2)＝1
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意可知2b＝a＋c.即2＝a＋c，
整理得5c²＋2ac－3a²＝0.即5e²＋2e－3＝0.
解得e＝5(3)或e＝－1(舍去)．
答案：5(3)

1．定义
平面内与两个定点F₁，F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[提醒] 当到两定点的距离之和等于|F₁F₂|时，动点的轨迹是线段F₁F₂；当到两定点的距离之和小于|F₁F₂|时，动点的轨迹不存在．
2．标准方程
中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)；中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：a2(y2)＋b2(x2)＝1(a>b>0)．
[提醒] 当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax²＋By²＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成m2(x2)＋n2(y2)＝1(m²≠n²)的形式．
1．(2014·全国大纲卷)已知椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F₁，F₂，离心率为3(3)，过F₂的直线l交C于A，B两点，若△AF₁B的周长为4，则C的方程为()
A.3(x2)＋2(y2)＝1B.3(x2)＋y²＝1
C.12(x2)＋8(y2)＝1  D.12(x2)＋4(y2)＝1
解析：选A 由椭圆的性质知|AF₁|＋|AF₂|＝2a，|BF₁|＋|BF₂|＝2a，
又∵△AF₁B的周长＝|AF₁|＋|AF₂|＋|BF₁|＋|BF₂|＝4，∴a＝.
又e＝3(3)，∴c＝1.∴b²＝a²－c²＝2，
∴椭圆的方程为3(x2)＋2(y2)＝1，故选A.
2．已知两圆C₁：(x－4)²＋y²＝169，C₂：(x＋4)²＋y²＝9，动圆在圆C₁内部且和圆C₁相内切，和圆C₂相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()
A.64(x2)－48(y2)＝1  B.48(x2)＋64(y2)＝1
C.48(x2)－64(y2)＝1  D.64(x2)＋48(y2)＝1
解析：选D设圆M的半径为r，
则|MC₁|＋|MC₂|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C₁，C₂为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，
故所求的轨迹方程为64(x2)＋48(y2)＝1.
3．(2015·浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C：9(x2)＋2(y2)＝1的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且|PF₁|＝4，则∠F₁PF₂＝()
A.6(π)  B.3(π)
C.3(2π)  D.6(5π)
解析：选C 由题意得a＝3，c＝，则|PF₂|＝2.
在△F₂PF₁中，由余弦定理可得
cos∠F₂PF₁＝2×4×2(7)2)＝－2(1).
又∵∠F₂PF₁∈(0，π)，∴∠F₂PF₁＝3(2π).
1．求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F₁F₂|这一条件．
2．利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：(其中，θ＝∠F₁PF₂)
(1)|PF₁|＋|PF₂|＝2a；
(2)4c²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|cos θ；
(3)当P为短轴端点时，θ最大．
(4)S△PF₁F₂＝2(1)|PF₁||PF₂|sin θ＝1＋cos θ(sin θ)·b²
＝b²tan 2(θ)＝c·|y₀|.
当y₀＝±b，即P为短轴端点时，S△PF₁F₂有最大值为bc.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
1．椭圆的几何性质
(1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；
(2)与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等．
[提醒]　在解题时要特别注意第二类性质，先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再进行求解．
2．椭圆的离心率
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：
(1)求出a，c代入公式e＝a(c)；
(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b²＝a²－c²转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a²转化为关于e或e²的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．[table=420.8,center][tr][td=1,1,561][/td][/tr][tr][td=1,1,561][/td][/tr][/table]
[题点发散1]　本例条件变为“若∠PF₁F₂＝α，∠PF₂F₁＝β，且cos α＝5(5)，sin(α＋β)＝5(3)”，则椭圆的离心率为________．
解析： ∵cos α＝5(5)⇒sin α＝5(5).
sin(α＋β)＝5(3)⇒cos(α＋β)＝－5(4).
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝25(5).
设|PF₁|＝r₁，|PF₂|＝r₂.
由正弦定理得5()＝5()＝5(3)
∴5()＝5(3)⇒e＝a(c)＝7(5).
答案：7(5)
[题点发散2]　本例条件变为“(＋)·＝0”试求S△F₁PF₂的面积．
解：∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF₁⊥PF₂，∠F₁PF₂＝90°.
设|PF₁|＝m，|PF₂|＝n，则m＋n＝2a.
m²＋n²＝4c²，∴(m＋n)²－2mn＝4c².
∴4a²－2mn＝4c²，∴4b²＝2mn.
∴mn＝2b².
∴S△F₁PF₂＝2(1)mn＝b².
[题点发散3]　本例条件变为“P到两焦点的距离之比为2∶1”，试求离心率范围．
解：设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥3(1).
又∵0<e<1，∴3(1)≤e<1.
椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．
1．位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax²＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ，
(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；
(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．
2．弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则|AB|＝|x₁－x₂|＝ k2(1)|y₁－y₂|.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长a(2b2)，最长为2a.
3．中点弦的重要结论
AB为椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的弦，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，弦中点M(x₀，y₀)．
(1)斜率：k＝－a2y0(b2x0).
(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－a2(b2).
(2014·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F₁，F₂分别是椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF₂并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F₁C.
(1)若点C的坐标为3(1)，且BF₂＝，求椭圆的方程；
(2)若F₁C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解：设椭圆的焦距为2c，则F₁(－c，0)，F₂(c,0)．
(1)因为B(0，b)，所以BF₂＝＝a.
又BF₂＝，故a＝.
因为点C3(1)在椭圆上，所以9()＋9()＝1.
解得b²＝1.
故所求椭圆的方程为2(x2)＋y²＝1.
(2)因为B(0，b)，F₂(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为c(x)＋b(y)＝1.
解方程组＝1，(y2)得a2＋c2(b(c2－a2))或y2＝b.(x2＝0，)
所以点A的坐标为a2＋c2(b(c2－a2)).
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为a2＋c2(b(a2－c2)).
因为直线F₁C的斜率为－(－c)(2a2c)＝3a2c＋c3(b(a2－c2))，
直线AB的斜率为－c(b)，且F₁C⊥AB，
所以3a2c＋c3(b(a2－c2))·c(b)＝－1.
又b²＝a²－c²，整理得a²＝5c².故e²＝5(1).因此e＝5(5).
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0，－2)，椭圆E：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的离心率为2(3)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为3(3)，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解：(1)设F(c,0)，由条件知，c(2)＝3(3)，得c＝.
又a(c)＝2(3)，所以a＝2，b²＝a²－c²＝1.
故E的方程为4(x2)＋y²＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)．
将y＝kx－2代入4(x2)＋y²＝1中，
得(1＋4k²)x²－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k²－3)>0，即k²>4(3)时，
由根与系数的关系得：x₁＋x₂＝4k2＋1(16k)，x₁x₂＝4k2＋1(12).
从而|PQ|＝|x₁－x₂|＝4k2＋1(4k2－3).
又点O到直线PQ的距离d＝k2＋1(2).
所以△OPQ的面积S_△OPQ＝2(1)d·|PQ|＝4k2＋1(4k2－3).
设＝t，则t>0，S_△OPQ＝t2＋4(4t)＝t(4).
因为t＋t(4)≥4，当且仅当t＝2，即k＝±2(7)时等号成立，且满足Δ>0.
所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝2(7)x－2或y＝－2(7)x－2.

一、选择题
1．(2015·北京西城区期末)若曲线ax²＋by²＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足()
A．a²>b²B.a(1)<b(1)
C．0<a<b  D．0<b<a
解析：选C 由ax²＋by²＝1，得a(1)＋b(1)＝1，因为焦点在x轴上，所以a(1)>b(1)>0，所以0<a<b.
2．(2015·运城二模)已知椭圆36(x2)＋9(y2)＝1以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()
A.2(1)  B．－2(1)
C．2  D．－2
解析：选B 设弦的端点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
则x₁＋x₂＝8，y₁＋y₂＝4，
2()两式相减，
得36((x1＋x2)(x1－x2))＋9((y1＋y2)(y1－y2))＝0，
∴9(2(x1－x2))＝－9(4(y1－y2))，∴k＝x1－x2(y1－y2)＝－2(1).
3.如图，F₁，F₂是双曲线C₁：x²－3(y2)＝1与椭圆C₂的公共焦点，点A是C₁，C₂在第一象限的公共点．若|F₁F₂|＝|F₁A|，则C₂的离心率是()
A.3(1)  B.3(2)
C.5(1)  D.5(2)
解析：选B 由题意知|AF₁|＋|AF₂|＝2a(设a为椭圆的长半轴)，|AF₁|－|AF₂|＝2，而|F₁F₂|＝|F₁A|＝4，因此可得2×|F₁A|＝2a＋2，∴8＝2a＋2，∴a＝3，又c＝2，故C₂的离心率e＝3(2).
4．(2015·河北邯郸一模)椭圆12(x2)＋3(y2)＝1的焦点为F₁，F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₂的中点在y轴上，那么|PF₂|是|PF₁|的()
A．7倍  B．5倍
C．4倍  D．3倍
解析：选A 设线段PF₂的中点为D，
则|OD|＝2(1)|PF₁|，OD∥PF₁，OD⊥x轴，
∴PF₁⊥x轴．
∴|PF₁|＝a(b2)＝3(3)＝2(3).
又∵|PF₁|＋|PF₂|＝4，
∴|PF₂|＝4－2(3)＝2(3).
∴|PF₂|是|PF₁|的7倍．
5．已知椭圆C：4(x2)＋3(y2)＝1的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆C上点A满足AF₂⊥F₁F₂.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为()
A.2(3) B.2(3)
C.4(9)  D.4(15)
解析：选B 设向量，的夹角为θ.由条件知|AF₂|为椭圆通径的一半，即|AF₂|＝a(b2)＝2(3)，则·＝2(3)||cos θ，于是·要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以·[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps8418.tmp.png[/img]＝2(3)|[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps8419.tmp.png[/img]|cos θ≤2(3)，故选B.
6．(2015·辽宁沈阳二模)已知椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁(－c,0)、F₂(c,0)，若椭圆上存在点P使sin∠PF1F2(a)＝sin∠PF2F1(c)，则该椭圆离心率的取值范围为()
A．(0，－1)  B.，1(2)
C.2(2)  D．(－1,1)
解析：选D 根据正弦定理得sin ∠PF1F2(|PF2|)＝sin∠PF2F1(|PF1|)，所以由sin∠PF1F2(a)＝sin∠PF2F1(c)可得|PF2|(a)＝|PF1|(c)，即|PF2|(|PF1|)＝a(c)＝e，所以|PF₁|＝e|PF₂|，又|PF₁|＋|PF₂|＝e|PF₂|＋|PF₂|＝|PF₂|·(e＋1)＝2a，则|PF₂|＝e＋1(2a)，因为a－c<|PF₂|<a＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<e＋1(2a)<a＋c，即1－a(c)<e＋1(2)<1＋a(c)，所以1－e<e＋1(2)<1＋e，即2<(1＋e)2，((1－e)(1＋e)<2，)解得－1<e<1.
二、填空题
7．已知F₁，F₂是椭圆4(x2)＋3(y2)＝1的两个焦点，过点F₂作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则△F₁AB的周长为________．
解析：由已知可得△F₁AB的周长为|AF₁|＋|AF₂|＋|BF₁|＋|BF₂|＝4a＝8.
答案：8
8.直线x－2y＋2＝0过椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1的左焦点F₁和一个顶点B，则椭圆的方程为________________．
解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.
直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.
故a²＝b²＋c²＝5，椭圆方程为5(x2)＋y²＝1.
答案：5(x2)＋y²＝1
9．已知F₁，F₂是椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps8429.tmp.png[/img]⊥[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps842A.tmp.png[/img].若△PF₁F₂的面积为9，则b＝________.
解析：由题意知|PF₁|＋|PF₂|＝2a，[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps842B.tmp.png[/img]⊥[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps842C.tmp.png[/img]，
∴|PF₁|²＋|PF₂|²＝|F₁F₂|²＝4c²，
∴(|PF₁|＋|PF₂|)²－2|PF₁||PF₂|＝4c²，
∴2|PF₁||PF₂|＝4a²－4c²＝4b².
∴|PF₁||PF₂|＝2b².
∵S△PF₁F₂＝2(1)|PF₁||PF₂|＝2(1)×2b²＝b²＝9，
∴b＝3.
答案：3
10．已知椭圆C：a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设|AM|＝e|AB|，则该椭圆的离心率e＝________.
解析：因为点A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，0(a)，(0，a)．
设点M的坐标是(x₀，y₀)[font=宋

这个沙发有点水

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哈哈

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自己整理的，发布到这里，格式变了。不好意思