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第五节椭__圆 基础盘查一 椭圆的定义 (一)循纲忆知 掌握椭圆的定义,了解椭圆的简单应用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆() (2)动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆() 答案:(1)×(2)× 2.(人教B版教材习题改编)已知椭圆a2(x2)+b2(y2)=1,作一个三角形,使它的一个顶点为焦点F1,另两个顶点D,E在椭圆上且边DE过焦点F2,则△F1DE的周长为________. 答案:4a 3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是________. 解析:由题意可知|PM|+|PN|=|MA|=6.又M(-2,0),N(2,0),∴动点P的轨迹是椭圆. 答案:椭圆 基础盘查二 椭圆的标准方程和几何性质 (一)循纲忆知 1.掌握椭圆的几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解数形结合的思想. (二)小题查验 1.(1)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆() (2)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形() (3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.() 答案:(1)×(2)√(3)√ 2.(人教A版教材习题改编)焦距是8,离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________. 答案:25(x2)+9(y2)=1或9(x2)+25(y2)=1 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列,则该椭圆的离心率是________. 解析:由题意可知2b=a+c.即2=a+c, 整理得5c2+2ac-3a2=0.即5e2+2e-3=0. 解得e=5(3)或e=-1(舍去). 答案:5(3) |(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. [提醒] 当到两定点的距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;当到两定点的距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. 2.标准方程 中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为:a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0);中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为:a2(y2)+b2(x2)=1(a>b>0). [提醒] 当焦点的位置不能确定时,椭圆方程可设成Ax2+By2=1的形式,其中A,B是不相等的正常数,或设成m2(x2)+n2(y2)=1(m2≠n2)的形式. [题组练透] 1.(2014·全国大纲卷)已知椭圆C:a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为3(3),过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为() A.3(x2)+2(y2)=1B.3(x2)+y2=1 C.12(x2)+8(y2)=1 D.12(x2)+4(y2)=1 解析:选A 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, 又∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,∴a=. 又e=3(3),∴c=1.∴b2=a2-c2=2, ∴椭圆的方程为3(x2)+2(y2)=1,故选A. 2.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为() A.64(x2)-48(y2)=1 B.48(x2)+64(y2)=1 C.48(x2)-64(y2)=1 D.64(x2)+48(y2)=1 解析:选D设圆M的半径为r, 则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8, 故所求的轨迹方程为64(x2)+48(y2)=1. 3.(2015·浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C:9(x2)+2(y2)=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F1PF2=() A.6(π) B.3(π) C.3(2π) D.6(5π) 解析:选C 由题意得a=3,c=,则|PF2|=2. 在△F2PF1中,由余弦定理可得 cos∠F2PF1=2×4×2(7)2)=-2(1). 又∵∠F2PF1∈(0,π),∴∠F2PF1=3(2π). [类题通法] 1.求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件. 2.利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理,常用到结论有:(其中,θ=∠F1PF2) (1)|PF1|+|PF2|=2a; (2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ; (3)当P为短轴端点时,θ最大. (4)S△PF1F2=2(1)|PF1||PF2|sin θ=1+cos θ(sin θ)·b2 =b2tan 2(θ)=c·|y0|. 当y0=±b,即P为短轴端点时,S△PF1F2有最大值为bc. (5)焦点三角形的周长为2(a+c). |(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1.椭圆的几何性质 (1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率等; (2)与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等. [提醒] 在解题时要特别注意第二类性质,先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪条坐标轴上,再进行求解. 2.椭圆的离心率 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法: (1)求出a,c代入公式e=a(c); (2)只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围). [一题多变] [table=420.8,center][tr][td=1,1,561][典型母题] [/td][/tr][tr][td=1,1,561](2015·广州二模)设F1,F2分别是椭圆C:a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为() A.3(3) B.6(3) C.3(1) D.6(1) [解析] 如图,设PF1的中点为M,连接PF2. 因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线. 所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°. 因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|==|PF2|, 由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=2(3|PF2|),2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=2(3|PF2|), 则e=a(c)=2(3|PF2|)·3|PF2|(2)=3(3).故选A. [答案] A [/td][/tr][/table][题点发散1] 本例条件变为“若∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,且cos α=5(5),sin(α+β)=5(3)”,则椭圆的离心率为________. 解析: ∵cos α=5(5)⇒sin α=5(5). sin(α+β)=5(3)⇒cos(α+β)=-5(4). ∴sin β=sin[(α+β)-α]=25(5). 设|PF1|=r1,|PF2|=r2. 由正弦定理得5()=5()=5(3) ∴5()=5(3)⇒e=a(c)=7(5). 答案:7(5) [题点发散2] 本例条件变为“(+)·=0”试求S△F1PF2的面积. 解:∵(+)·=(+)· =·=0, ∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°. 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a. m2+n2=4c2,∴(m+n)2-2mn=4c2. ∴4a2-2mn=4c2,∴4b2=2mn. ∴mn=2b2. ∴S△F1PF2=2(1)mn=b2. [题点发散3] 本例条件变为“P到两焦点的距离之比为2∶1”,试求离心率范围. 解:设P到两个焦点的距离分别为2k,k,根据椭圆定义可知:3k=2a,又结合椭圆的性质可知.椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,即k≤2c,∴2a≤6c,即e≥3(1). 又∵0<e<1,∴3(1)≤e<1. [类题通法] 椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形. (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1,在求椭圆的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系. |(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A一定不为0),设其判别式为Δ, (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交; (2)Δ=0⇔直线与椭圆相切; (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离. 2.弦长公式 (1)若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|= k2(1)|y1-y2|. (2)焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长a(2b2),最长为2a. 3.中点弦的重要结论 AB为椭圆a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0). (1)斜率:k=-a2y0(b2x0). (2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值-a2(b2). [典题例析] (2014·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C. (1)若点C的坐标为3(1),且BF2=,求椭圆的方程; (2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值. 解:设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为B(0,b),所以BF2==a. 又BF2=,故a=. 因为点C3(1)在椭圆上,所以9()+9()=1. 解得b2=1. 故所求椭圆的方程为2(x2)+y2=1. (2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上, 所以直线AB的方程为c(x)+b(y)=1. 解方程组=1,(y2)得a2+c2(b(c2-a2))或y2=b.(x2=0,) 所以点A的坐标为a2+c2(b(c2-a2)). 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为a2+c2(b(a2-c2)). 因为直线F1C的斜率为-(-c)(2a2c)=3a2c+c3(b(a2-c2)), 直线AB的斜率为-c(b),且F1C⊥AB, 所以3a2c+c3(b(a2-c2))·c(b)=-1. 又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=5(1).因此e=5(5). [类题通法] 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. [演练冲关] (2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,-2),椭圆E:a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0)的离心率为2(3),F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为3(3),O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程. 解:(1)设F(c,0),由条件知,c(2)=3(3),得c=. 又a(c)=2(3),所以a=2,b2=a2-c2=1. 故E的方程为4(x2)+y2=1. (2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将y=kx-2代入4(x2)+y2=1中, 得(1+4k2)x2-16kx+12=0. 当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>4(3)时, 由根与系数的关系得:x1+x2=4k2+1(16k),x1x2=4k2+1(12). 从而|PQ|=|x1-x2|=4k2+1(4k2-3). 又点O到直线PQ的距离d=k2+1(2). 所以△OPQ的面积S△OPQ=2(1)d·|PQ|=4k2+1(4k2-3). 设=t,则t>0,S△OPQ=t2+4(4t)=t(4). 因为t+t(4)≥4,当且仅当t=2,即k=±2(7)时等号成立,且满足Δ>0. 所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=2(7)x-2或y=-2(7)x-2. [A卷——夯基保分] 一、选择题 1.(2015·北京西城区期末)若曲线ax2+by2=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足() A.a2>b2B.a(1)<b(1) C.0<a<b D.0<b<a 解析:选C 由ax2+by2=1,得a(1)+b(1)=1,因为焦点在x轴上,所以a(1)>b(1)>0,所以0<a<b. 2.(2015·运城二模)已知椭圆36(x2)+9(y2)=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为() A.2(1) B.-2(1) C.2 D.-2 解析:选B 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=8,y1+y2=4, 2()两式相减, 得36((x1+x2)(x1-x2))+9((y1+y2)(y1-y2))=0, ∴9(2(x1-x2))=-9(4(y1-y2)),∴k=x1-x2(y1-y2)=-2(1). 3.如图,F1,F2是双曲线C1:x2-3(y2)=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是() A.3(1) B.3(2) C.5(1) D.5(2) 解析:选B 由题意知|AF1|+|AF2|=2a(设a为椭圆的长半轴),|AF1|-|AF2|=2,而|F1F2|=|F1A|=4,因此可得2×|F1A|=2a+2,∴8=2a+2,∴a=3,又c=2,故C2的离心率e=3(2). 4.(2015·河北邯郸一模)椭圆12(x2)+3(y2)=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,如果线段PF2的中点在y轴上,那么|PF2|是|PF1|的() A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 解析:选A 设线段PF2的中点为D, 则|OD|=2(1)|PF1|,OD∥PF1,OD⊥x轴, ∴PF1⊥x轴. ∴|PF1|=a(b2)=3(3)=2(3). 又∵|PF1|+|PF2|=4, ∴|PF2|=4-2(3)=2(3). ∴|PF2|是|PF1|的7倍. 5.已知椭圆C:4(x2)+3(y2)=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为() A.2(3) B.2(3) C.4(9) D.4(15) 解析:选B 设向量,的夹角为θ.由条件知|AF2|为椭圆通径的一半,即|AF2|=a(b2)=2(3),则·=2(3)||cos θ,于是·要取得最大值,只需在向量上的投影值最大,易知此时点P在椭圆短轴的上顶点,所以·[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps8418.tmp.png[/img]=2(3)|[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps8419.tmp.png[/img]|cos θ≤2(3),故选B. 6.(2015·辽宁沈阳二模)已知椭圆a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使sin∠PF1F2(a)=sin∠PF2F1(c),则该椭圆离心率的取值范围为() A.(0,-1) B.,1(2) C.2(2) D.(-1,1) 解析:选D 根据正弦定理得sin ∠PF1F2(|PF2|)=sin∠PF2F1(|PF1|),所以由sin∠PF1F2(a)=sin∠PF2F1(c)可得|PF2|(a)=|PF1|(c),即|PF2|(|PF1|)=a(c)=e,所以|PF1|=e|PF2|,又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,则|PF2|=e+1(2a),因为a-c<|PF2|<a+c(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义),所以a-c<e+1(2a)<a+c,即1-a(c)<e+1(2)<1+a(c),所以1-e<e+1(2)<1+e,即2<(1+e)2,((1-e)(1+e)<2,)解得-1<e<1. 二、填空题 7.已知F1,F2是椭圆4(x2)+3(y2)=1的两个焦点,过点F2作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,则△F1AB的周长为________. 解析:由已知可得△F1AB的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8. 答案:8 8.直线x-2y+2=0过椭圆a2(x2)+b2(y2)=1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为________________. 解析:直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2. 直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的顶点,故b=1. 故a2=b2+c2=5,椭圆方程为5(x2)+y2=1. 答案:5(x2)+y2=1 9.已知F1,F2是椭圆C:a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps8429.tmp.png[/img]⊥[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps842A.tmp.png[/img].若△PF1F2的面积为9,则b=________. 解析:由题意知|PF1|+|PF2|=2a,[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps842B.tmp.png[/img]⊥[img]file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/ksohtml/wps842C.tmp.png[/img], ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. ∴|PF1||PF2|=2b2. ∵S△PF1F2=2(1)|PF1||PF2|=2(1)×2b2=b2=9, ∴b=3. 答案:3 10.已知椭圆C:a2(x2)+b2(y2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴,y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=________. 解析:因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴,y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是,0(a),(0,a). 设点M的坐标是(x0,y0)[font=宋 |
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沙发#
发布于:2016-11-08 20:52
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板凳#
发布于:2016-11-09 22:34
这个沙发有点水
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地板#
发布于:2016-11-10 19:45
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4楼#
发布于:2016-11-10 20:34
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