[我要吐槽]2017年4月3日杂谈(数学理论选讲II)

继续讲数学理论。有一个小笑话，说是“先生教财主的孩子：‘一就是一划，二就是两划，三就是三划。’孩子高兴地扔掉笔：‘我会了，我什么都会了！’财主很高兴，就把先生辞掉了。后来财主想请一个姓万的客人吃饭，让儿子写一篇请帖，儿子回屋去写，写了一中午还没写好，财主不耐烦了，进房间去看儿子写得怎样了，儿子哭着说：‘天下姓氏多得很，为什么偏要姓万？我画了一上午，才画了三千多划呢。’”这个儿子想必把从前三个数字入手，把中国数字看成了简单累数制，所以才自找麻烦。
事实上，远古人也知道太多不好写，所以真正的简单累数制使用很少，而是每十个单位采用一个更高的单位表示（加法累数制）；“因为古人有十个手指头”，所以大多数是十进制。例如古埃及的数字，“1~9”采用简单累数制，10好像是一个拱门，100好像是一卷绳子，1000忘了，好像是什么神，10000像一个指头，有时向左弯，有时向右弯。非十进制也有，如罗马数字，一共七个单位，M代表1000，从大到小依次排列，如3023要写成MMMXXIII，如果一千以上就在上面划一横线。这是一种相当完备的计数方式了——至少是在当时如此。
现在阿拉伯数字采用的是十进位值制，不同的位置的数字表示的意义不同，如我们写1234，1代表1*1000，2代表2*100，等等。“十进位值制”虽然有我们很熟悉的“十进位”三个字，但是这个词分为两部分：“十进”和“位值”，“十进”即十进位制，其他地方也有不同的，比如好像是玛雅数字，60进位值制，60以下采用分级符号制，如5是玉米神、10是死神等，（用现代的符号）36代表十进位值制中的3*60+6=186.很多现在还在沿用，比如一小时是60分钟，一分钟是60秒；据传还有英国的12进位值制，12是一打（dozen），不过这里没听说过具体的表示。“位值”的意思是同一个数放在某一个位置上代表这个数乘以这个位置所代表的值，比如1214,第一个“1”代表1*1000，另一个“1”代表1*10，二者不同。“2”和“4”分别代表2*100和4*1.电子计算机使用二进位值制，因为电路只有“通”（1）“断”（0）的两个状态，如写1010100，第一个“1”代表十进位值制中的2的六次幂（64），第二个则代表十进位值制中的16，第三个代表4，整个数字代表十进位值制中的84.
有一个我一直看不起的计数方式，就是分级符号制，对每一个较高的单位另立符号之外对每一个级别的单位也要另立符号。比如十进位值制中的1111，四个数是一样的，只不过它们的意义不同，第一个“1”表示1*1000，第二个“1”代表1*100；但是分级符号制中，表示1*1000和1*100的数是不同的，表示2*100的数和表示2*10的数也是不同的。这相比加法累数制写的紧凑一点，但是麻烦得多：现在的阿拉伯数字只有10种，但是当时一万以内的数要40个符号，一亿以内的数要80个符号。不知道当时的人是怎么记得下来这符号的，也不知道有什么好处。
现在的中国数字采用的是乘法累数制，每一个数乘以其表示的单位再相加。感觉特别方便，比如说用十进位值制表示的“4600”这个数，不必像简单累数制一样画4600划（哈哈），也不用像加法累数制一样写成“千千千千百百百百百百”，更不用像分级符号制一样另外设计出表现“4*1000”或者“6*100”的新符号，而是写成“四千六百”，想想就觉得方便。不过虽然中华汉字博大精深，但是表示数的单位的字还是不够，只有“十、百、千、万”四个，后来有人就另定了“兆、亿、京、垓”等十几个单位，最高的是“无量大数”，“一无量大数”用十进位值制写出来是“1”后面接64个“0”.这些单位有三种转换方式，很不方便，于是现在只剩下“万万为亿”还在使用，亿以上不再另定新名。在某些地方还在使用“兆”这个单位，电子计算机有多少兆内存，但是电子计算机的算法不在十进位值制范围内，应该是二进位值制，1K(“千字节”)是第二个单位，但是代表的不是1*10,而是2的10次幂，1024.一“兆”是第三个单位，同样，代表的不是1*100，而是2的20次幂，1048576.
进位制是很重要的，很多小朋友在学习数字的时候都遇到过瓶颈，如把“20”当作最大的数，或者“50”，“100”算是很大了。而我就没有这种问题，我是先认识了0~9的数字，然后通过算盘学会了进位制，于是说我认识“10”后的第二天，数的上限对我就变成了10的16次幂减1（写出来是15个9），因为不知道“千万亿”以上的单位是“亿亿”，哈哈。
By the way，有的数记一下是很好的，如6!=720,还有2的10次幂是1024,2的20次幂是1048576，2的16次幂是65536,2的64次幂是18446744073709551616（哈哈）。实际上这个数就是那个发明国际象棋的人向国王索取的麦粒数加1.

进数制。。。