[我要吐槽]2017年4月5日杂谈（数学理论选讲III）

欧几里得数学，公理5：整体大于部分，这已经讲过。但是涉及到“比较”的时候却出现了问题：作为“整体”的实数集R和作为“部分”的区间（-0.5π，+0.5π）可以通过y=tanx形成一一对应，这也就表明“部分”也未必比整体小。同样，以前看过的一个例子，对与任意一个整数n，总有一个其二倍的数2n与之对应，说明整数范围内的“整数”和“偶数”一样多！这也就形成了悖论，同时引出了“无穷”的概念。
其实很早的时候就有人发现这一问题：无穷可能是无法比较的。例如在一个圆内有无穷多的直径，每个直径都被圆心分为两个半径，而半径的数量也是“无穷多”，为之奈何？好像是亚里士多德提出，任何人只能说“很大很大数目的直径或半径”，而不能说实实在在的“无穷多的直径或半径”，可见亚里士多德也是只接受“潜无穷”而不接受“实无穷”，也就是说他认为“数”是可数的。
后来，康托尔证明了有理数是可数的——换句话说有理数是“潜无穷”的。这一点与我们平时的直观感觉不同，因为有理数是“稠密的”，即每两个有理数间都有一个有理数（实际上是无穷多个）。他给出了两个证明，其中第二个证明是现在普遍采用的，现解释如下：列一个坐标系，取第一象限整点，以横坐标为分子，纵坐标为分母。按以下路线：“（1，1）（1，2）（2，1）（3，1）（2，2）（1，3）（1，4）（2，3）……”虽然不太好直观想象，但是画出来就明白是什么路线了。这样一直行进，对于任意一个给定的有理数，必然可以在可数的若干步后找到一个整点来表示这个数，从而有理数是可数的。
康托尔还利用一个更巧妙的方法证明了代数数（和“超越数”相对，即可以成为代数方程的解的数）是可数的。然而，就在“潜无穷”一派正要取胜之时，康托尔证明了实数是不可数的，从而发现了第一个实无穷几何：实数集。对此，康托尔在“深感抱歉”之外，提出了一个“超限数”的定义，认为对于无穷集合，可以指定一个超限数，不同的无穷集合有不同的超限数（例如奇数集和偶数集超限数相等，但是是整数集的一半），从而使无穷集合也可以比较大小（这里的“无穷”包括潜无穷）；不过，根据后来的理论，康托尔对“超限数”的指定是错误的。
康托尔建立了集合论，但是他的集合论有漏洞，以至于在他在世的时候一直被别人嘲笑，最后康托尔本人还得了精神病（和甜甜一样）。他对于一个集合，指定了一个“幂集”的概念，即定义一个集合的所有子集的集合为一个集合的幂集。对此有康托尔定理：一个集合的幂集要比这个集合的元素多；另一方面，我们考虑“所有集合组成的集合”这个集合。毋庸置疑，这是最大的集合，但是按照康托尔定理，它的幂集要比这个集合还大，这就出现了矛盾。原来以为这只是一点“技术上”的小问题，但是罗素写信提出了广为人知的“罗素悖论”——若S={S丨S∉S}，则S∈S的充要条件就是S∉S.这条只涉及到了集合论中的概括性原则的悖论差一点把整个集合论彻底推翻。这就是第三次数学危机。
对此，数学家们提出了七条公理，排除”所有集合组成的集合“这种败类，也不允许”不属于本身的集合“的存在，保护住了集合论——这就是ZF系统，公理集合论。
公理1——外延公理：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。
公理2——空集合存在公理：存在一集合s，它没有元素。
公理3——并集公理：对任意集合x，存在集合y，使w∈y当且仅当存在z使z∈x且w∈z.
公理4——幂集公理：对任意集合x，存在集合y，使z∈y当且仅当对z的所有元素w，w∈x
公理5——无穷公理：存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x}也是其元素。
公理6——替换公理：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合t，”当x属于t时，F（x）都有定义“成立的前提下，就一定存在一集合s，使得对于所有的x属于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。
公理7—— 正则公理：对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。
这些公理的基础是皮亚诺系统。在这个系统中，所有集合的元素都是集合。要明白这一点才能看懂这些公理。今天就讲这些吧。

甜甜？？（我猜的。。）