勾股定理逆定理的5种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。下面举例说明。

一. 用于判断三角形的形状

例1. 如图1，中，，，，求证：是直角三角形

证明：由已知得：

，即c是最长边

是直角三角形

二. 用于求角度

例2. 如图2，点P是等边内一点，且，，，求的度数

解：因，以点B为定点，将旋转到达的位置，连结PP”，则

为等边三角形

在中

由勾股定理的逆定理知

三. 用于求边长

例3. 如图3，在[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image002.gif[/img]中，D是BC边上的点，已知[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image029.gif[/img]，[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image030.gif[/img]，[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image031.gif[/img]，[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image032.gif[/img]，求DC的长。

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image033.gif[/img]

解：在[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image034.gif[/img]中，由[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image035.gif[/img]可知[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image036.gif[/img]

又由勾股定理的逆定理知

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image037.gif[/img]

在[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image038.gif[/img]中

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image039.gif[/img]

四. 用于求面积

例4. 如图4，已知[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image040.gif[/img]，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形ABCD的面积。

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image041.gif[/img]

解：连结AC，在[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image042.gif[/img]中，由勾股定理得[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image043.gif[/img]

在[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image044.gif[/img]中

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image045.gif[/img]

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image026.gif[/img]由勾股定理的逆定理知

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image046.gif[/img]

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image047.gif[/img]

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image048.gif[/img]

五. 用于证明垂直

例5. 如图5，已知正方形ABCD中，[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image049.gif[/img]，[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image050.gif[/img]，求证：[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image051.gif[/img]

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image052.gif[/img]

证明：连结FC，设AF＝1，则DF＝3，[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image053.gif[/img]，[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image054.gif[/img]

在[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image055.gif[/img]、[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image056.gif[/img]、[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image057.gif[/img]中

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image058.gif[/img]

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image059.gif[/img]

[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image026.gif[/img]由勾股定理的逆定理知[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image060.gif[/img]

即[img]http://res.tongyi.com/resources/old_article/educa/unvisity/zxxzt/e9/ztfd/39.files/image051.gif[/img]

勾股定理逆定理的五种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。下面举例说明。
一. 用于判断三角形的形状
例1. 如图1，中，，，，求证：是直角三角形

证明：由已知得：
，即c是最长边


是直角三角形
二. 用于求角度
例2. 如图2，点P是等边内一点，且，，，求的度数

解：因，以点B为定点，将旋转到达的位置，连结PP”，则

为等边三角形

在中

由勾股定理的逆定理知

三. 用于求边长
例3. 如图3，在中，D是BC边上的点，已知，，，，求DC的长。

解：在中，由可知
又由勾股定理的逆定理知

在中

四. 用于求面积
例4. 如图4，已知，AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13。求四边形ABCD的面积。

解：连结AC，在中，由勾股定理得
在中

由勾股定理的逆定理知



五. 用于证明垂直
例5. 如图5，已知正方形ABCD中，，，求证：

证明：连结FC，设AF＝1，则DF＝3，，
在、、中


由勾股定理的逆定理知
即

wlm5421926：勾股定理逆定理的五种应用

“如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有，那么这个三角形是直角三角形。”这就是勾股定理的逆定理。它是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。下面举例说明。
一. 用于判断三角形的形状
例1. 如图1...回到原帖

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