[趣味数学]缺8数

“缺8数”——12345679，是一种数学现象，颇为神秘，故许多人在进行探索。

清一色

菲律宾前总统马科斯偏好的数字不是8，却是7。于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，777777777映入了马科斯先生的眼帘。

“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：你只要分别用9的倍数（9,18……直到81）去乘它，则111111111,222222222……直到999999999都会相继出现。

三位一体

“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：

12345679×12=148148148

12345679×15=185185185

12345679×57=703703703

轮流“休息”

当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。

让我们看一下乘数在区间[10—17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。

12345679×10=123456790（缺8）

12345679×11=135802469（缺7）

12345679×13=160493827（缺5）

12345679×14=172839506（缺4）

12345679×16=197530864（缺2）

12345679×17=209876543（缺1）

乘数在[19—26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。

乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！

一以贯之

当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子：

（1）乘数为9的倍数

12345679×243=2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。

（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数

12345679×84=1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。

（3）乘数为3K+1或3K+2型

12345679×98=1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。

走马灯

冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。

实际上，当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数为一公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。例如：

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123

回文结对 携手同行

“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到：

12345679×4=49382716

12345679×5=61728395

前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数？（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。）

这样的“回文结对，携手并进”现象，对13，14；22，23；31，32；40，41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如：

12345679×67=827160493

12345679×68=839506172

遗传因子

“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特性，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。

例如50672839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。

我们看到，506172839×3=1518518517。

如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。

追本穷源

“缺8数”实际上与循环小数是一根藤上的瓜，因为

1/81=0.012345679。

在0.012345679中，为什么别的数码都不缺，应有尽有，而唯独缺少8呢？

我们看到，1/81=1/9×1/9。

把1/9化成循环小数，其循环节只有一位，即1/9=0.1。

如果你不怕麻烦，当然也可把它看成是0.1111……直到无穷。

无穷多个1的自乘，能办得到吗？不妨先从有限个1的平方来试试看。

很明显：11的平方=121，111的平方=12321，……，直到111111111的平方=12345678987654321。

但现在是无穷个1相乘，长长的队伍看不到尽头，怎么办呢？

利用数学归纳法，不难证明，在所有的层次，8都被一一跳过。

循环小数与循环群、周期现象的研究正方兴未艾，它已引起许多人的浓厚兴趣与密切关注。由于计算机科学的蓬勃发展，人们越来越不满足于泛泛的几条性质，而更着眼于探索其精微结构。

缺8数

这个我看过哎

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月榜答疑第一，666666~