[用户互动]分式

形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如x/y是分式，还有x(y+2)/y也是分式。

基本定义

例如A/B，A、B是整式，B中含有https://baike.so.com/doc/4943887-5164868.html 且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的https://baike.so.com/doc/2365910-2501711.html ，B叫做分式的分母。分母不能为0，若分母的值为零，则分式无https://baike.so.com/doc/778602-823818.html 。

注意

  掌握分式的概念应注意

判断一个https://baike.so.com/doc/2160471-2286034.html 是否是分式，要看式子是否是A/ B的形式，关键要https://baike.so.com/doc/700784-10570119.html ：（1）分式的分母中必须含有字母。

（2）分母的值不能为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

https://baike.so.com/doc/5568870-5784048.html 和分式统称为有理式。无理式和有理式统称代数式。不能化简后再看，6X/3X也是分式。

意义有无的条件

（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；

（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

运算法则

    约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去的https://baike.so.com/doc/5403238-5640927.html （即分子与分母都除以它们的公因式），叫做分式的约分(reduction of a fraction)

分式的乘除法法则

两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母https://baike.so.com/doc/325159-344461.html 位置（除数的https://baike.so.com/doc/5400928-5638533.html ）后再与被除式相乘。

分式的加减法法则

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母分式的加减法法则

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

基本性质

   基本性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=(A*C)/(B*C)， A/B=（A÷C）/（B÷C）（A,B,C为整式，且B、C不等于0）。

约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

分式的约分步骤

（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式

一个分式的分子和分母没有https://baike.so.com/doc/6596588-6810371.html 时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分

把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的https://baike.so.com/doc/5410319-5648401.html 。

分式的通分步骤

先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。注：最简公分母的确定方法：

系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质；（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。

四则运算

1.同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：a/c±b/c=(a±b)/c。2.异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：a/b±c/d=(ad±cb)/bd。

3.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd。4.分式的除法法则：

（1）.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。例如a/b÷c/d=ad/bc。（2）.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:例如：a/b÷c/d=a/b*d/c。

分式方程

   基本简介

分母中含有未知数的方程叫做https://baike.so.com/doc/3203834-3376471.html 。

①去分母{方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号}；分式②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项， 系数化为1）求出未知数的值；

③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代进去检验。

  基本步骤

（1）设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；（2）列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；

（3）列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；（4）解方程并检验；

（5）写出答案。在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验它是否符合题意。

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。分式方程及其应用举例

例1：解方程（1）x/(x+1）=2x/（3x+3）+1两边乘3(x+1）去分母得

3x=2x+（3x+3）3x=5x+3

2x=-3∴x=-3/2

经检验，x=-3/2是原方程的解（2）2/（x-1）=4/（x^2-1）

两边乘（x+1）(x-1）去分母得2(x+1）=4

2x+2=42x=2

∴x=1检验 ：把x=1带入原方程，使分母为0，是增根。

故原方程2/（x-1）=4/（x^2-1 ）无解 。（3）　2x-3+1/(x-5)=x+2+1/(x-5)

两边同时减1/（x-5)，得x=5代入原方程，使分母为0，所以x=5是增根

即方程无解！检验：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0,则a是原方程的增根。若x=a使最简公分母不为零, 则a是原方程的根。

归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。 检验格式：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0，则a是原方程的增根.若x=a使最简公分母不为零，则a是原方程的根。

当然我们可凭经验判断是否有解。若有解，代入所有分母计算：若无解，代入无解分母即可。例2：（2010湖南邵阳）小明离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆。已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。

（1）小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？

【解析】（1）设步行的速度为x米/分钟，则骑自行车的速度为3x米/分钟。解得x=80，3x=240　　依题意得（2400╱x）-（2400╱3x）=20

经检验，x=80是原方程的根。答：小明步行的速度是80米/分钟。

（2）来回家取票总时间为：（2400╱x）+（2400╱3x）+2=42分钟<45分钟

所以他能在球赛开始前赶到体育馆。答：小明能在球赛开始前赶到体育馆。

形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如x/y是分式，还有x(y+2)/y也是分式。

基本定义


例如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分母不能为0，若分母的值为零，则分式无意义。

注意


   掌握分式的概念应注意

判断一个式子是否是分式，要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：（1）分式的分母中必须含有字母。

（2）分母的值不能为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

整式和分式统称为有理式。无理式和有理式统称代数式。不能化简后再看，6X/3X也是分式。

意义有无的条件

（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；

（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

运算法则


     约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去的约分（即分子与分母都除以它们的公因式），叫做分式的约分(reduction of a fraction)

分式的乘除法法则

两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置（除数的倒数）后再与被除式相乘。

分式的加减法法则

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母分式的加减法法则

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

基本性质


    基本性质

分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=(A*C)/(B*C)， A/B=（A÷C）/（B÷C）（A,B,C为整式，且B、C不等于0）。

约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

分式的约分步骤

（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

最简分式

一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。

通分

把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。

分式的通分步骤

先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。注：最简公分母的确定方法：

系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质；（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。

四则运算


1.同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：a/c±b/c=(a±b)/c。2.异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：a/b±c/d=(ad±cb)/bd。

3.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd。4.分式的除法法则：

（1）.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。例如a/b÷c/d=ad/bc。（2）.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:例如：a/b÷c/d=a/b*d/c。

分式方程


    基本简介

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。


①去分母{方程两边同时乘以最简公分母（最简公分母：①系数取最小公倍数；②出现的字母取最高次幂；③出现的因式取最高次幂），将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号}；分式②按解整式方程的步骤（移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项， 系数化为1）求出未知数的值；

③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代进去检验。

   基本步骤

（1）设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；（2）列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；

（3）列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；（4）解方程并检验；

（5）写出答案。在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验它是否符合题意。

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解。分式方程及其应用举例

例1：解方程（1）x/(x+1）=2x/（3x+3）+1两边乘3(x+1）去分母得

3x=2x+（3x+3）3x=5x+3

2x=-3∴x=-3/2

经检验，x=-3/2是原方程的解（2）2/（x-1）=4/（x^2-1）

两边乘（x+1）(x-1）去分母得2(x+1）=4

2x+2=42x=2

∴x=1检验 ：把x=1带入原方程，使分母为0，是增根。

故原方程2/（x-1）=4/（x^2-1 ）无解 。（3）　2x-3+1/(x-5)=x+2+1/(x-5)

两边同时减1/（x-5)，得x=5代入原方程，使分母为0，所以x=5是增根

即方程无解！检验：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0,则a是原方程的增根。若x=a使最简公分母不为零, 则a是原方程的根。

归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。 检验格式：把x=a 带入最简公分母，若x=a使最简公分母为0，则a是原方程的增根.若x=a使最简公分母不为零，则a是原方程的根。

当然我们可凭经验判断是否有解。若有解，代入所有分母计算：若无解，代入无解分母即可。例2：（2010湖南邵阳）小明离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆。已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。

（1）小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？（2）小明能否在球赛开始前赶到体育馆？

【解析】（1）设步行的速度为x米/分钟，则骑自行车的速度为3x米/分钟。解得x=80，3x=240　　依题意得（2400╱x）-（2400╱3x）=20

经检验，x=80是原方程的根。答：小明步行的速度是80米/分钟。

（2）来回家取票总时间为：（2400╱x）+（2400╱3x）+2=42分钟<45分钟

所以他能在球赛开始前赶到体育馆。答：小明能在球赛开始前赶到体育馆。