[资料共享]整式乘法

(a+b)(a+b)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 或者 (a-b) (a-b)=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
归纳 这两个http://www.so.com/s?q=%E5%85%AC%E5%BC%8F&叫做http://www.so.com/s?q=%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F&，两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍。
我们通常表示为：
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
注：
通常a,b是表示一个整体的http://www.so.com/s?q=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%BC%8F&，不一定是数，例如：[(3x-y)-(2x+2y)][(3x-y)+(2x+2y)]=5x^2+6xy+y^2
常见错误
完全平方公式中常见错误有：①学生难于跳出原有的http://www.so.com/s?q=%E5%AE%9A%E5%BC%8F&http://www.so.com/s?q=%E6%80%9D%E7%BB%B4&，如典型错误； （错因：在公式的http://www.so.com/s?q=%E5%9F%BA%E7%A1%80&上类推，随意“创造”）②混淆公式；③运算结果中符号错误；④变式应用难于掌握。
http://www.so.com/s?q=%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E6%96%B9%E6%B3%95&及http://www.so.com/s?q=%E4%BE%8B%E9%A2%98&
一、理解公式左右边特征 （一）学会推导公式（这两个公式是根据http://www.so.com/s?q=%E4%B9%98%E6%96%B9&的意义与http://www.so.com/s?q=%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F&的乘法法则得到的），真实体会随意“创造”的不正确性； （二）学会用文字概述公式的含义： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍． 与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． （三）这两个公式的结构特征是： 1、http://www.so.com/s?q=%E5%B7%A6%E8%BE%B9&是两个相同的http://www.so.com/s?q=%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F&相乘，右边是http://www.so.com/s?q=%E4%B8%89%E9%A1%B9%E5%BC%8F&，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“＋”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“＋”号连接后再“－”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）； 3、公式中的http://www.so.com/s?q=%E5%AD%97%E6%AF%8D&可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示http://www.so.com/s?q=%E5%8D%95%E9%A1%B9%E5%BC%8F&或多项式等数学式． （四）两个公式的统一： 因为 所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了http://www.so.com/s?q=%E8%BF%90%E7%AE%97%E7%AC%A6%E5%8F%B7&的出错。 二、把握运用公式四步曲： 1、“察”：计算时，要先观察http://www.so.com/s?q=%E9%A2%98%E7%9B%AE&http://www.so.com/s?q=%E7%89%B9%E7%82%B9&是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的http://www.so.com/s?q=%E5%BD%A2%E5%BC%8F&，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算． 2、“导”：正确地选用完全平方公式，关键是确定http://www.so.com/s?q=%E5%BC%8F%E5%AD%90&中a、b分别表示什么数或式． 3、“算”：注意每步的运算http://www.so.com/s?q=%E4%BE%9D%E6%8D%AE&，即各个环节的算理。 4、“验”：完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。 三、掌握运用公式常规四变 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1） （2） 分析：本例改变了公式中a、b的符号，处理方法之一：把两式分别变形为再用公式计算（反思得：）；方法二：把两式分别变形为：后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为：后直接用公式计算（此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆）； （二）、变项数： 例2：计算： 分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用http://www.so.com/s?q=%E6%95%B4%E4%BD%93%E6%80%9D%E6%83%B3&看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，可先变形为或或者，再进行计算． （三）、变结构 例3：运用公式计算： （1）（x＋y）·（2x＋2y）； （2）（a＋b）·（－a－b）； （3）（a－b）·（b－a） 分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个http://www.so.com/s?q=%E5%9B%A0%E5%BC%8F&作适当变形就可以了，即 （1）（x＋y）·（2x+2y）=2（x＋y）?； （2）（a＋b）·（－a－b）=－（a＋b）?； （3）（a－b）·（b－a）=－（a－b）? （四）、简便运算 例4：计算：（1）9992（2）100.12 分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。即：（1）。 四、学会公式运用中三拓展 1、公式的混用 例5：计算： （l）（x+y+z）（x+y-z） （2）（2x-y+3z）（y-3z-2x） 分析：此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项http://www.so.com/s?q=%E4%BA%92%E4%B8%BA%E7%9B%B8%E5%8F%8D%E6%95%B0&。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合http://www.so.com/s?q=%E6%9E%84%E9%80%A0&成http://www.so.com/s?q=%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F&计算后，再运用完全平方公式等计算。即：（1）（x+y+z）（x+y-z）=[（x+y）+z][（x+y）-z]=… （2）（2x-y+3z）（y-3z+2x）=[2x-（y-3z）][（2x+（y-3z）]=…2、公式的变形： 熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。 例6：已知实数a、b满足（a＋b）2=10，ab=1。求下列各式的值： （1）a2+b2；（2）（a－b）2 分析：此例是典型的http://www.so.com/s?q=%E6%95%B4%E5%BC%8F&求值问题，若按http://www.so.com/s?q=%E5%B8%B8%E8%A7%84%E6%80%9D%E7%BB%B4&把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到http://www.so.com/s?q=%E8%A7%A3%E5%86%B3%E9%97%AE%E9%A2%98&的途径。即：（1）a2＋b2=（a＋b）2－2ab=… （2）（a－b）2=（a＋b）2－4ab=… 3、公式的逆用： 例7：计算： 分析：本题若直接运用http://www.so.com/s?q=%E4%B9%98%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%8F&http://www.so.com/s?q=%E5%92%8C%E6%B3%95%E5%88%99&较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式的右边，不妨把公式倒过来用可得：==4

(a+b)(a-b)=a^2-b^2
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做http://www.so.com/s?q=%E4%B9%98%E6%B3%95&的平方差公式。
说明
当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式。这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即a^-b^ =(a+b)(a-b)
两数和於这两数差的基，等於它们的平方差。
[逆推导平http://www.so.com/s?q=%E6%96%B9%E5%B7%AE&公式]
a^2-b^2
=a^2-b^2+(ab-ab)
=(a^2-ab)+(ab-b^2)
=a(a-b)+b(a-b)
=(a+b)(a-b)
公式运用
[http://www.so.com/s?q=%E8%A7%A3%E6%96%B9%E7%A8%8B&]
x×x-y×y=1991
[http://www.so.com/s?q=%E6%80%9D%E8%B7%AF&分析]
利用平方差公式求解
[解题http://www.so.com/s?q=%E8%BF%87%E7%A8%8B&]
x^2－y^2＝1991
(x＋y)(x－y)＝1991
因为1991可以分成1×1991，11×181
所以如果x＋y＝1991，x－y＝1，解得x＝996，y＝995
如果x＋y＝181，x－y＝11，x＝96，y＝85同时也可以是负数
所以解有x＝996，y＝995，或x＝996，y＝－995，或x＝－996，y＝995或x＝－996，y＝－995
或x＝96，y＝85，或x＝96，y＝－85或x＝－96，y＝85或x＝－96，y＝－85

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