[励志青春]2018年12月11日杂谈（数学理论选讲VII）

按：此文中a/b表示以a为分子，b为分母的分数，a^b表示b为上角标，不一定表示以a为底数，b为指数的幂（注意三角函数的幂与导数标志），f’(x)表示求一阶导数，二阶、三阶类推，四阶及以上（n阶）用f^(n)(x)表示，i为虚数单位。这样就可以了，真正感兴趣的人即使看不懂这个格式，自己写下来一看就明白了，不感兴趣的人我写得再详细也没有用。
 
证明：当0<x<π时，tanx>x+1/3x^3.
对于随便一个高中生（文科高二上学期的《选修1-1》，理科高二下学期的《选修2-2》）来说，这都是送分题吧。所谓的构造函数，这是最简单的一类。
但是我的想法是什么呢？看到这种格式的东西，第一个想到的是——泰勒展开。
计算得出
(tanx)’=(secx)^2, (tanx)’’=[2(secx)^2] tanx,
(tanx)’’’=[4(secx)^2] tanx+2(secx)^4, (tanx)^(4) =8[(secx)^2] (tanx)^2+8[(secx)^4] tanx.
所以写出tanx的带拉格朗日余项的麦克劳林展式：‘
tanx=x+1/3x^3+ {[(secθx) ^2] (tanθx) ^2+[(secθx) ^4] tanθx} (x^4)/3.其中θ∈(0,1).
注意到0<x<π/2，θ∈(0,1)时secθx>0,tanθx>0，因此那个拉格朗日余项>0，于是tanx>x+1/3x^3.得证。
所以对于我的做法如何评价？
普遍认为是闲得。做出来是一定能做出来的，但是这种构造函数求两次导数就能做出来的，何必用泰勒公式？但是，习惯了。等号右面的东西实在太像麦克劳林展式了，于是思维被引了上去。说我想多了？不是。没有多想，看见直接就这么做了。说我想少了？也不是。没有构造函数，求个导也不难，前两项正好就是等号右边。更何况，没有错误。另外感兴趣的同学可以自己构造函数，尝试用求导判断单调性的方法做一下。这是不同定式思维的冲突。
再来看一个。解方程x^3=1.
简单吗？一个1脱口而出。然后呢？
这可以说是想少了吧。在某一个位置待久了，自然就会按照相应的思维去做事。不过，这些在高中阶段其实并不重要。想到一个1，已经够了。反向思维不太重要，定式思维也差不多。
有的时候，定式思维本来正确，而反向思维干脆就是错了。
有人说I like you.什么意思？对方脸红，自己直男一般跟上一句：“我像你。”一边取笑一边走了。其实Like用作“像”的时候是介词，你就直接扔进去——你的系动词呢？自己才是真正应该被取笑的人。
补充一点。通报一个同学。高中同学，女生。有一次手贱发了一句“想你”，回复：“我有男朋友哈 我知道你是出于朋友 好好学习好好生活 祝你早日找到 属于自己的幸福” 盯着手机半天没有反应过来。我还怎么说？回一句“好的~感谢。”发现我被删了……现在的年轻人啊，戏可真多。这是怎么回事呢？她是在什么样的位置，第一反应想到了这些呢？这些尚待分析，不过可以确认的一点是，删掉我也没有关系，给别人“让出名额”来（都知道被我加上多么难吧）。

qylizhi：此文没人回是不是不能怪你们呀。回到原帖

我回~