[趣味数学]饮马问题的拓展与应用

饮马问题的拓展与应用




【探索拓展应用】
拓展1 如果饮马人从图中的A点出发到笔直的河岸
去饮马，且沿河走一段路程a，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？
分析：考虑到饮马人必须在河边走一段路程a，然后再去B地，
可以先将点B平移至E点，在按“饮马问题”的模型来解．
作A点关于直线
的对称点，过点B作BE∥，且BE=a，
连结 交 于P，在
上截取PD=a，且B、D在直线EP的同侧，采取的路线为A→P→D→B，可使总路程最短．
例1、如图，已知点A（3，4），点B的坐标为（，1），
在x轴上另取两点E、F（F在E的右侧），且EF=1．线段EF
在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长
最小？求出此时点E的坐标．
分析：四边形ABEF的四条边中AB与EF是不变的，为了使周长最小，
就是让BE+AE最小．将点A（3，4）向左平移一个单位至
（2，4），
作点B关于x轴的对称点 （，），当点E为直线 与x轴的
交点时，符合题意．因为直线
的解析式为，所以点E
的坐标为（，0）．
拓展2 如图，如果饮马人从点A出发，先到笔直的草地边 的某一处牧马，再到笔直的河岸
去饮马，然后回到B处，走什么样的路线最短？
分析：本题实际上是“饮马问题”的组合，分别作点A关于 的对称点，点B关于 的对称点，就可找到最短的线路．连结
分别交直线、于P、Q，连结AP、PQ、BQ，采取的路线为A→P→Q→B，可使总路程最短．
例2、如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点
Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是
             
；
当△PQR周长最小时，∠QPR的度数=             ．
分析：分别作点P关于OA、OB的对称点、，根据轴对称
性质可知：，，所以当点Q、R为直线
分别与OA、OB的交点时，△PQR的周长最小．因为△
是等腰直角三角形，，△PQR的周长最小值为．
∵∠=∠=45⁰，∠=∠=45⁰，∴∠QPR的度数为90°．
拓展3 、 如图，如果饮马人从AC上的一点P出发，先到笔直的
草地边AB的某一处牧马，再到与草地边AB垂直的笔直河岸BC
去饮马，然后回到P处，如何确定点P的位置走的路线最短？
分析：分别作点P关于AB、AC的对称点、，连结、，
可证≌，可得、、三点共线，所以折线
、、的最短路程是．因为平行线之间
垂线段最短，当⊥时，最短．
例3：如图所示，已知
中，，，，
分别是三边 上的点，则 的
最小值为    
      ．
分析：由以上分析可知：的最小值为，
而当 与
垂直时，的值最小．由，
可得，，，所以这个最小值为．
[饮马问题的拓展变式在中考、竞赛与提前招生中屡屡出现，引导学生经历拓展过程，对于激发学生学习数学的乐趣，提高思维与探索能力，不无裨益．当然，更加期待新的拓展与变式的出现．]
【总结归纳升华】
通过一系列的探索可知，将军饮马问题的实质：（1）求最短路线问题，通过几何变换找对称图形；（2）把A、B两点在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线；（3）利用“两点之间线段最短”与“平行线之间垂线段最短”加以解决．
【结束语】
今天我们共同经历了“饮马问题”应用与拓展的探索旅程，相信你会有所感触．请你延续这种学习方法与探究方式，你会发现数学其实很好玩，你会发现数学更多的乐趣、更多的美．

啊，脑袋好痛，本来饮马的我学的还可以。现在忽然不会了=-=