[资料共享]初三数学各章节重要知识点概要

旋转
1、概念：
把一个图形绕着某一点 O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角
2、旋转的性质：
（ 1） 旋转前后的两个图形是全等形；
（ 2） 两个对应点到旋转中心的距离相等
（ 3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角
3 、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心
对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
4 、中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．
5 、中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形，
这个点就是它的对称中心．
6 、坐标系中的中心对称
圆
1、（要求深刻理解、熟练运用）
1. 垂径定理及推论 :
如图：有五个元素， “知二可推三” ；需记忆其中四个定理，
即“垂径定理” “中径定理” “弧径定理”“中垂定理” .
几何表达式举例：
∵ CD 过圆心
∵CD⊥AB
3. “角、弦、弧、距”定理： （同圆或等圆中）
“等角对等弦” ； “等弦对等角” ；
“等角对等弧” ； “等弧对等角” ；
“等弧对等弦” ；“等弦对等 ( 优，劣 ) 弧”；
“等弦对等弦心距” ；“等弦心距对等弦” .
几何表达式举例：
(1) ∵∠ AOB=∠COD
∴ AB = CD
(2) ∵ AB = CD
∴∠ AOB=∠COD
（3）,,,,,
A
B
C
D
E
O
平分优弧
过圆心
垂直于弦
平分弦
平分劣弧
∴
AC BC
AD BD
=
=
AE=BE
A
B
C
D
E
F
O
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点 P（x，y）关于原点 O的对称点 P′（ -x ，-y ）．
3
4．圆周角定理及推论 :
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ( 如图 )
（3）“等弧对等角” “等角对等弧” ；
（4）“直径对直角” “直角对直径” ；( 如图 )
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直
角三角形 .( 如图 )
（ 1） （2）（3） （4）
几何表达式举例：
（1） ∵∠ ACB=
2
1
∠AOB
∴ ,,,,,
（2） ∵ AB 是直径
∴ ∠ACB=90°
（3） ∵ ∠ACB=90°
∴ AB 是直径
（4） ∵ CD=AD=BD
∴ ΔABC是 RtΔ
5．圆内接四边形性质定理 :
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外
角都等于它的内对角 .
几何表达式举例：
∵ ABCD是圆内接四边形
∴ ∠CDE =∠ABC
∠C+∠ A =180°
6．切线的判定与性质定理 :
如图：有三个元素， “知二可推一” ；
需记忆其中四个定理 .
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
几何表达式举例：
（1） ∵OC是半径
∵OC⊥AB
∴AB是切线
（2） ∵OC是半径
∵AB是切线
∴OC⊥AB
9．相交弦定理及其推论 :
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条
线段长的比例中项 .
（1） （2）
几何表达式举例：
（1） ∵PA2 PB=PC2 PD
∴,,,
（2） ∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC
2 =PA2 PB
11．关于两圆的性质定理 :
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上 .
（ 1） （2）
几何表达式举例：
（1） ∵O 1 ，O 2 是圆心
∴O 1 O 2 垂直平分 AB
（2） ∵⊙ 1  、⊙ 2 相切
∴O 1  、A、O 2 三点一线
12．正多边形的有关计算 :
（1）中心角 n  ，半径 R N  ， 边心距 r n  ，
边长 a n  ，内角 n  ， 边数 n；
（2）有关计算在 RtΔAOC中进行 .
公式举例：
(1) n =
n
360
；
A B
C
O
A
B
O1 O2
A
O1 O2
n
n
A
B C
D
E
O
a
r n
n
n
R
A
B
C
D
P
A B
C
P O
A
B
C
D
E
A
B
C
O
A
B
C
D
A
B
C
O
是半径
垂直
是切线
4
A
B
O
(2)
n
180
2
n
二 定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆 .
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 .
3．正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分为 2n 个全等的直角三角形 .
三 公式：
1. 有关的计算：
（1）圆的周长 C=2πR；（2）弧长 L=
180
R n
；（3）圆的面积 S=πR
2 .
（4）扇形面积 S 扇形 =
LR
2
1
360
R n
2
；
（5）弓形面积 S 弓形 =扇形面积 S AOB ±ΔAOB的面积 . （如图）
2. 圆柱与圆锥的侧面展开图：
（ 1）圆柱的侧面积： S 圆柱侧 =2 πrh ； (r: 底面半径； h: 圆柱高 )
（ 2）圆锥的侧面积： S 圆锥侧 = LR
2
1
=πrR. （L=2π r ，R是圆锥母线长； r 是底面半径）
四 常识：
1． 圆是轴对称和中心对称图形 .
2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数 .
3． 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心 .
4． 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中 r 表示圆的半径）
直线与圆相交 d ＜r ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 d ＞r.
5．证直线与圆相切，常利用： “已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线 .
三角函数
1. 正弦、余弦、正切的定义
如图：在 Rt△ABC中，∠ C=90°，如果锐角 A确定：
锐角 A的对边与斜边的比叫做∠ A的正弦，记作 sinA ，即 sin
A a
A
c
的对边
斜边
；
锐角 A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦，记作 cosA，即 cos
A b
A
c
的邻边
斜边
；
锐角 A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切，记作 tanA ，即 tan
A a
A
A b
的对边
的邻边
.
5
函数值的取值范围是 0＜sinA ＜1，0＜ cosA＜1，tanA ＞0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠ A+∠B=90°，
那么： sinA=cosB ； cosA=sinB ； 同角三角
函数关系： sin
2 A＋cos 2 A=1； tanA=
3.30 °、
45°、 60°角的三角函数值
∠A  30° 45° 60°
sinA
cosA
tanA  1
4、解直角三角形
角角关系：两锐角互余，即∠ A+∠B=90°；
边边关系：勾股定理，即 ；
边角关系：锐角三角函数，即
二次函数
1、二次函数的定义
一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数 .
2、二次函数的图象与性质
a. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ，
6
其中 ；⑤ . （以上式子 a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
当 时
开口向上
当 时
开口向下
( 轴)  (0 ， 0)
( 轴)  (0 ， )
( ，0)
( ， )
( )
b. 抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点 .
(1) 的符号决定抛物线的开口方向： 当 时，开口向上； 当 时，开口向下； 相等， 抛物线的开口大小、
形状相同 .
(2) 平行于 轴( 或重合 ) 的直线记作 . 特别地， 轴记作直线 .
c. 抛物线
2
0 ( ) y ax bx c a≠ 中， , , a b c 的作用：
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样 .
(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 的对称轴是直线 ，
故：① 时，对称轴为 轴；② ( 即 、 同号 ) 时，对称轴在 轴左侧；③ ( 即 、 异号 ) 时，
对称轴在 轴右侧 .
(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置 .
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点 (0， ) ：
① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半轴 .
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 . 如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
d. 用待定系数法求二次函数的解析式：
(1) 一般式： （a≠0） . 已知图象上三点或三对 、 的值，通常选择一般式 .
(2) 顶点式： （a≠0） . 已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .
7
(可以看成 的图象平移后所对应的函数 .)
(3) “交点式”：已知图象与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：
（a≠0） .( 由此得根与系数的关系： ).
3、二次函数与一元二次方程的关系
函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，那么一元二次方程的解
就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 .
(1) 当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实根；
(2) 当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相等实根；
(3) 当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时 ，则方程没有实根 .
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
4、利用 二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的
规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题 . 在研究实际问题时要注意自变量的取值范围
应具有实际意义 .
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1) 建立适当的平面直角坐标系；
(2) 把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3) 用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4) 利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题 .

。。。。。。

liminghao7：。。。。。。回到原帖

图片：CgEB7V2W4JqAWSpvAAB_DexfKW8008.jpg

建议重新排版哦~·

ty2979902176：建议重新排版哦~·回到原帖

好的