[资料共享]必修 4 平面向量知识点小结

一、向量的基本概念
1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别 .
向量常用有向线段来表示 .
注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以
平移 .
举例 1 已知 A(1,2) ，B(4,2) ，则把向量 AB 按向量 a ( 1,3) 平移后得到的向
量是 _____. 结果： (3,0)
2. 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，规定：零向量的
方向是任意的；
3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与 AB 共线
的单位向量是
| |
AB
AB
）；
4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向
量有传递性；
5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫
做平行向量，记作： a ∥ b，
规定： 零向量和任何向量平行 .
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量
平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！ （因为有 0 ) ；
④三点 A、B、C 共线 AB、AC 共线.
6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a 的相反向量
记作 a .
举例 2 如下列命题：（1）若 | a | | b | ，则 a b .
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 .
（3）若 AB DC ，则 ABCD 是平行四边形 .
（4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC .
（5）若 a b ， b c，则 a c .
（6）若 a / /b ，b / / c则 a / /c . 其中正确的是 . 结果：（4）（5）
二、向量的表示方法
1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终
点在后；
平面向量基础知识复习
2
2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如 a， b ， c 等；
3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、 y 轴方向相同
的 两 个 单 位 向 量 i , j 为 基 底 ， 则 平 面 内 的 任 一 向 量 a 可 表 示 为
a xi yj ( x, y) ，称 ( x, y) 为向量 a的坐标， a ( x, y) 叫做向量 a的坐标表示 .
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标
相同 .
三、平面向量的基本定理
定理 设 e1 , e2 同一平面内的一组基底向量， a 是该平面内任一向量，
则存在唯一实数对 ( 1 , 2 ) ，使 a 1e1 2e2 .
（1）定理核心： a λ1e1 λ2e2 ；（2）从左向右看，是对向量 a 的分解，且
表达式唯一；反之，是对向量 a 的合成 .
（3）向量的正交分解：当 1 2 e ,e 时，就说 a λ1e1 λ2e2 为对向量 a 的正交分
解．
举例 3 （1）若 a (1,1) ， b (1, 1)， c ( 1,2) ，则 c . 结果：
1 3
2 2
a b .
（2）下列向量组中， 能作为平面内所有向量基底的是 B
A. 1
e (0,0) ， 2
e (1, 2) B. 1
e ( 1,2) ， 2
e (5,7) C. 1
e (3,5) ， 2
e (6,10)
D. 1e (2, 3)， 2
1 3
,
2 4
e
（3）已知 AD , BE 分别是 △ABC 的边 BC ，AC 上的中线 , 且 AD a ，BE b , 则 BC
可用向量 a,b 表示为 . 结果： 2 4
3 3
a b .
（4）已知 △ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2DB ， CD rAB sAC ，则 r s 的
值是 . 结果： 0.
四、实数与向量的积
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和方向规定如
下：
（1）模： | a | | | | a |；
（2）方向：当 0时， a 的方向与 a 的方向相同，当 0 时， a 的
方向与 a 的方向相反，当 0时， a 0 ，
注意： a 0 .
五、平面向量的数量积
1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ， b，作 OA a， OB b ，则把
AOB (0 )称为向量 a ， b 的夹角 .
平面向量基础知识复习
3
当 0时， a， b 同向；当 时， a ， b 反向；当
2
时， a ， b 垂
直.
2. 平面向量的数量积 ：如果两个非零向量 a ，b ，它们的夹角为 ，
我们把数量 | a || b | cos 叫做 a 与b 的数量积（或内积或点积） ，记作： a b ，
即 a b | a | | b | cos .
规定：零向量与任一向量的数量积是 0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量 .
举例 4 （1）△ ABC 中，| AB| 3，| AC | 4，|BC | 5，则 BACB _________. 结
果： 9.
（2）已知 1
1,
2
a ，
1
0,
2
b ，c a kb，d a b ，c 与 d 的夹角为 4
，则k ____.
结果： 1.
（3）已知 | a| 2， |b | 5， a b 3，则 | a b | ____. 结果： 23 .
（4）已知 a,b是两个非零向量，且| a | |b | |a b |，则 a 与 a b 的夹角为 ____.
结果： 30 .
3. 向量 b 在向量 a上的投影： |b | cos ，它是一个实数，但不一定大于
0.
举例 5 已知 |a | 3， |b | 5，且 a b 12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为
______. 结果： 12
5
.
4. a b 的几何意义 ：数量积 a b 等于 a 的模 | a |与b 在 a 上的投影的积 .
5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为 ，则：
（1） a b a b 0 ；
（2）当 a、 b 同向时， a b | a | | b |，特别地， 2 2 2
a a a | a | | a | a ；
a b | a | | b |是 a 、 b 同向的 充要分条件 ；
当 a、 b 反向时， a b | a | | b |， a b | a | | b |是 a 、 b 反向的 充要分条
件；
当 为锐角时， a b 0，且 a、 b 不同向， a b 0是 为锐角的 必要不
充分条件 ；
当 为钝角时， a b 0，且 a、 b 不反向； a b 0是 为钝角的 必要不
充分条件 .
（3）非零向量 a， b 夹角 的计算公式： cos
| || |
a b
a b
；④ a b | a ||b |.
举例 6 （1）已知 a ( ,2 ) ， b (3 ,2) ，如果 a与 b 的夹角为锐角，则 的
取值范围是 ______. 结果： 4
3或 0且 1
3；
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4
（2）已知 △OFQ 的面积为 S，且 OF FQ 1，若 1 3
2 2
S ，则 OF ， FQ 夹角 的
取值范围是 _________. 结果： ,
4 3 ；
（3）已知 a (cosx,sin x) ， b (cos y,sin y) ，且满足 | ka b | 3 |a kb |（其中 k 0 ）.
①用 k 表示 a b ；②求 a b 的最小值，并求此时 a 与 b的夹角 的大小 .
结果：① 2
1
( 0)
4
k
a b k
k ；②最小值为 1
2
， 60 .
六、向量的运算
1. 几何运算
（1）向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则 .
运 算 形 式 ： 若 AB a ， BC b ， 则 向 量 AC 叫 做 a 与 b 的 和 ， 即
a b A B B C A；C
作图：略 .
注：平行四边形法则只适用于不共线的向量 .
（2）向量的减法
运算法则：三角形法则 .
运算形式：若 AB a ， AC b ，则 a b AB AC CA，即由减向量的终
点指向被减向量的终点 .
作图：略 .
注：减向量与被减向量的起点相同 .
举例 7 （1）化简：① AB BC CD ；② AB AD DC ；③
( AB CD) ( AC BD) . 结果：① AD ；② CB ；③ 0；
（2）若正方形 ABCD 的边长为 1，AB a ，BC b，AC c ，则 |a b c | .
结果： 2 2；
（3）若 O是 △ABC 所在平面内一点， 且满足 OB OC OB OC 2OA ，则△ ABC 的
形状为 . 结果：直角三角形；
（4）若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点， △ ABC 所在平面内有一点 P ，满足
PA BP CP 0 ，设 | |
| |
AP
PD ，则 的值为 . 结果： 2；
（5）若点 O 是 △ABC 的外心，且 OA OB CO 0 ，则 △ABC 的内角 C 为 .
结果： 120 .
2. 坐标运算 ：设 1 1 a (x , y ) ， b ( x2 , y2 ) ，则
（1）向量的加减法运算 ： a b ( x1 x2 , y1 y2 ) ， a b (x1 x2 , y1 y2 ) .
举例 8 （1）已知点 A(2,3)，B(5,4) ，C (7,10) ，若 AP AB AC( R ) ，则当 ____
时，点 P 在第一、三象限的角平分线上 . 结果： 1
2 ；
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5
（2）已知 A(2,3) ， B(1,4) ，且 1
(sin ,cos )
2
AB x y ， , ( , )
2 2
x y ，则 x y . 结
果： 6 或 2 ；
（3）已知作用在点 A(1,1)的三个力 1
F (3,4) ， 2
F (2, 5)， 3
F (3,1)，则合力
F F1 F2 F3 的终点坐标是 . 结果： (9,1) .
（2）实数与向量的积 ： 1 1 1 1
a (x , y ) ( x , y ) .
（3）若 1 1 A(x , y ) ， 2 2 B( x , y ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) ，即一个向量的坐标等
于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 .
举例 9 设 A(2,3) ， B( 1,5) ，且 1
3
AC AB ， AD 3AB ，则 C, D 的坐标分别是
__________. 结果： 11 (1, ),( 7,9)
3
.
（4）平面向量数量积 ： a b x1 x2 y1 y2
.
举例 10 已知向量 a (sin x,cosx) ， b (sin x,sin x) ， c ( 1,0) .
（1）若 3
x ，求向量 a 、 c 的夹角；
（2）若 3
[ , ]
8 4
x ，函数 f (x) a b 的最大值为 1
2
，求 的值 . 结果：（1）150 ；
（2） 1
2 或 2 1.
（5）向量的模 ：
2 2 2 2 2 2
a | a | x y | a | x y .
举例 11 已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 |a 3b |
＝ . 结果： 13 .
（6）两点间的距离 ：若 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，则 2 2
| AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) .
举例 12 如图，在平面斜坐标系 xOy 中， xOy 60 ，平面上任一点 P关
于斜坐标系
的斜坐标是这样定义的：若 OP xe1 ye2，其中 1 2 e ,e 分别为与 x 轴、 y 轴同
方向的单
位向量，则 P 点斜坐标为 (x, y) .
（1）若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ，求 P 到 O 的距离 | PO |；
（2）求以 O为圆心， 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程 .
结果：（1）2；（2） 2 2
x y xy 1 0 .
七、向量的运算律
1. 交换律： a b b a ， ( a) ( )a ， a b b a ；
2. 结合律： a b c (a b) c ， a b c a (b c) ， ( a)b (a b) a ( b) ；
3. 分配律： ( )a a a ， (a b) a b ， (a b) c a c b c .
举例 13 给出下列命题：① a (b c ) a b a c ；② a (b c) (a b) c ；③
2 2 2
(a b) | a| 2 |a ||b | | b| ；
O x
y
60
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6
④ 若 a b 0，则 a 0 或 b 0 ；⑤若 a b c b 则 a c ；⑥ 2 2
| a| a ；⑦ 2
a b b
a a ；
⑧ 2 2 2
(a b) a b ；⑨ 2 2 2
(a b) a 2a b b .
其中正确的是 . 结果：①⑥⑨ .
说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个
向量等式， 可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数， 两边同时取模，
两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一
个向量，切记两向量不能相除 ( 相约) ；
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 a (b c ) (a b) c ，为什么？
八、向量平行 ( 共线) 的充要条件
2 2
a / /b a b (a b) (| a ||b |) x1 y2 y1 x2 0 .
举例 14 (1) 若向量 a ( x,1) ， b (4, x) ，当 x _____时， a 与 b 共线且方向
相同 . 结果： 2.
（2）已知 a (1,1)，b (4, x) ，u a 2b ，v 2a b ，且 u / / v，则 x . 结
果： 4.
（3）设 PA ( k,12) ， PB (4,5) ， PC (10, k)，则 k _____时， A,B,C 共线. 结
果： 2或 11.
九、向量垂直的充要条件
a b a b 0 | a b | | a b | x1x2 y1 y2 0 .
特别地
| | | | | | | |
AB AC AB AC
AB AC AB AC
.
举例 15 (1) 已知 OA ( 1,2)，OB (3,m)，若 OA OB ，则 m . 结果： 3
2
m ；
（2）以原点 O和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ， B 90 ，则点
B 的坐标是 . 结果： (1,3) 或（3，－1））；
（3）已知 n (a,b)向量 n m ，且| n|| |m ，则 m 的坐标是 . 结果： (b, a) 或
( b,a) .
十、线段的定比分点
1. 定义：设点 P 是直线 P1P2上异于 P1、 P2 的任意一点，若存在一个实
数 ，使 PP1 PP2 ，则实数 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比 ，P 点叫
做有向线段 P1P2 的以定比为 的定比分点 .
2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系
（1） P 内分线段 P1P2 ，即点 P 在线段 P1P2上 0 ；
（2）P 外分线段 P1P2 时，①点 P 在线段 P1P2的延长线上 1，②点
P 在线段 P1P2 的反向延长线上 1 0 .
注：若点 P 分有向线段 1 2
PP 所成的比为 ，则点 P分有向线段 2 1
P P 所成的
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7
比为 1
.
举例 16 若点 P分 AB 所成的比为 3
4 ，则 A 分 BP 所成的比为 .
结果： 7
3
.
3. 线段的定比分点坐标公式 ：
设 1 1 1 P (x , y ) ， 2 2 2 P ( x , y ) ，点 P(x, y )分有向线段 P1P2 所成的比为 ，则定比分
点坐标公式为
1 2
1 2
,
1
( 1)
.
1
x x
x
y y
y
.
特别地，当 1时，就得到线段 P1P2的中点坐标公式
1 2
1 2
,
2
.
2
x x
x
y y
y
说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时， 应明确 (x, y) ， 1 1
(x ,y ) 、 2 2
(x , y )
的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标 .
（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和
终点，并根据这些点确定对应的定比 .
举例 17 （1）若 M) ,2(3 ，N (6, 1)，且 1
3
MP MN ，则点 P 的坐标为 .
结果： 7
( 6, )
3 ；
（2）已知 A(a,0) ， B(3,2 a) ，直线 1
2
y ax 与线段 AB 交于 M ，且 AM 2 MB ，则
a . 结果：２或 4 .
十一、平移公式
如果点 P(x, y)按向量 a (h,k ) 平移至 P(x , y )，则 ,
.
x x h
y y k
；曲线 f ( x, y) 0 按
向量 a (h,k ) 平移得曲线 f ( x h, y k) 0 .
说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2）
向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
举例 18 （1）按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，则按向量 a把点 ( 7,2) 平
移到点 ______. 结果： ( 8,3) ；
（ 2）函数 y sin 2x 的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是
y cos2x 1，则 a ________. 结果： ( ,1)
4
.
十二、向量中一些常用的结论
1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
2. 模的性质： | a | | b | | a b | | a | | b |.
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8
（1）右边等号成立条件： a、b 同向或 a、b 中有 0 | a b | | a | | b |；
（2）左边等号成立条件： a、b 反向或 a、b 中有 0 | a b | | a | | b |；
（3）当 a、b 不共线 | a | |b | | a b | | a | | b |.
3. 三角形重心公式
在 △ABC 中 ，若 1 1 A(x , y ) ， 2 2 B(x , y ) ， 3 3 C( x , y ) ， 则 其重 心的 坐标为
1 2 3 1 2 3
( , )
3 3
x x x y y y
G .
举例 19 若△ABC 的三边的中点分别为 A(2,1) 、B( 3,4) 、C( 1, 1) ，则 △ ABC的重
心的坐标为 . 结果： 2 4
,
3 3
.
5. 三角形“三心”的向量表示
（1） 1
( )
3
PG PA PB PC G为△ ABC 的重心，特别地 PA PB PC 0 G
为△ ABC 的重心 .
（2） PA PB PB PC PC PA P 为△ABC的垂心 .
（ 3 ） | AB| PC | BC | PA |CA| PB 0 P 为 △ ABC 的 内 心 ； 向 量
( 0)
| | | |
AB AC
AB AC
所在直线过 △ABC 的内心 .
6. 点 P分有向线段 P1P2 所成的比 向量形式
设点 P 分有向线段 P1P2 所成的比为 ，若 M 为平面内的任一点，则
1 2
1
MP MP
MP ，特别地 P 为有向线段 P1P2 的中点 1 2
2
MP MP
MP .
7. 向 量 PA,PB,PC 中 三 终 点 A,B,C 共 线 存 在 实 数 , ， 使 得
P A P B P且C 1．
举例 20 平面直角坐标系中， O为坐标原点， 已知两点 A(3,1) ，B( 1,3) ，
若点 C 满足 OC 1OA 2OB , 其中 1 2
, R 且 1 2
1 , 则点 C 的轨迹是 . 结
果：直线 AB