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一、向量的基本概念
1. 向量的概念 :既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别 . 向量常用有向线段来表示 . 注意:不能说向量就是有向线段,为什么? 提示:向量可以 平移 . 举例 1 已知 A(1,2) ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a ( 1,3) 平移后得到的向 量是 _____. 结果: (3,0) 2. 零向量 :长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,规定:零向量的 方向是任意的; 3. 单位向量 :长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 AB 共线 的单位向量是 | | AB AB ); 4. 相等向量 :长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向 量有传递性; 5. 平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫 做平行向量,记作: a ∥ b, 规定: 零向量和任何向量平行 . 注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量 平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性! (因为有 0 ) ; ④三点 A、B、C 共线 AB、AC 共线. 6. 相反向量 :长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a 的相反向量 记作 a . 举例 2 如下列命题:(1)若 | a | | b | ,则 a b . (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同 . (3)若 AB DC ,则 ABCD 是平行四边形 . (4)若 ABCD 是平行四边形,则 AB DC . (5)若 a b , b c,则 a c . (6)若 a / /b ,b / / c则 a / /c . 其中正确的是 . 结果:(4)(5) 二、向量的表示方法 1. 几何表示 :用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终 点在后; 平面向量基础知识复习 2 2. 符号表示 :用一个小写的英文字母来表示,如 a, b , c 等; 3. 坐标表示 :在平面内建立直角坐标系,以与 x轴、 y 轴方向相同 的 两 个 单 位 向 量 i , j 为 基 底 , 则 平 面 内 的 任 一 向 量 a 可 表 示 为 a xi yj ( x, y) ,称 ( x, y) 为向量 a的坐标, a ( x, y) 叫做向量 a的坐标表示 . 结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同 . 三、平面向量的基本定理 定理 设 e1 , e2 同一平面内的一组基底向量, a 是该平面内任一向量, 则存在唯一实数对 ( 1 , 2 ) ,使 a 1e1 2e2 . (1)定理核心: a λ1e1 λ2e2 ;(2)从左向右看,是对向量 a 的分解,且 表达式唯一;反之,是对向量 a 的合成 . (3)向量的正交分解:当 1 2 e ,e 时,就说 a λ1e1 λ2e2 为对向量 a 的正交分 解. 举例 3 (1)若 a (1,1) , b (1, 1), c ( 1,2) ,则 c . 结果: 1 3 2 2 a b . (2)下列向量组中, 能作为平面内所有向量基底的是 B A. 1 e (0,0) , 2 e (1, 2) B. 1 e ( 1,2) , 2 e (5,7) C. 1 e (3,5) , 2 e (6,10) D. 1e (2, 3), 2 1 3 , 2 4 e (3)已知 AD , BE 分别是 △ABC 的边 BC ,AC 上的中线 , 且 AD a ,BE b , 则 BC 可用向量 a,b 表示为 . 结果: 2 4 3 3 a b . (4)已知 △ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD 2DB , CD rAB sAC ,则 r s 的 值是 . 结果: 0. 四、实数与向量的积 实数 与向量 a 的积是一个向量,记作 a ,它的长度和方向规定如 下: (1)模: | a | | | | a |; (2)方向:当 0时, a 的方向与 a 的方向相同,当 0 时, a 的 方向与 a 的方向相反,当 0时, a 0 , 注意: a 0 . 五、平面向量的数量积 1. 两个向量的夹角 :对于非零向量 a , b,作 OA a, OB b ,则把 AOB (0 )称为向量 a , b 的夹角 . 平面向量基础知识复习 3 当 0时, a, b 同向;当 时, a , b 反向;当 2 时, a , b 垂 直. 2. 平面向量的数量积 :如果两个非零向量 a ,b ,它们的夹角为 , 我们把数量 | a || b | cos 叫做 a 与b 的数量积(或内积或点积) ,记作: a b , 即 a b | a | | b | cos . 规定:零向量与任一向量的数量积是 0. 注:数量积是一个实数,不再是一个向量 . 举例 4 (1)△ ABC 中,| AB| 3,| AC | 4,|BC | 5,则 BACB _________. 结 果: 9. (2)已知 1 1, 2 a , 1 0, 2 b ,c a kb,d a b ,c 与 d 的夹角为 4 ,则k ____. 结果: 1. (3)已知 | a| 2, |b | 5, a b 3,则 | a b | ____. 结果: 23 . (4)已知 a,b是两个非零向量,且| a | |b | |a b |,则 a 与 a b 的夹角为 ____. 结果: 30 . 3. 向量 b 在向量 a上的投影: |b | cos ,它是一个实数,但不一定大于 0. 举例 5 已知 |a | 3, |b | 5,且 a b 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为 ______. 结果: 12 5 . 4. a b 的几何意义 :数量积 a b 等于 a 的模 | a |与b 在 a 上的投影的积 . 5. 向量数量积的性质 :设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ,则: (1) a b a b 0 ; (2)当 a、 b 同向时, a b | a | | b |,特别地, 2 2 2 a a a | a | | a | a ; a b | a | | b |是 a 、 b 同向的 充要分条件 ; 当 a、 b 反向时, a b | a | | b |, a b | a | | b |是 a 、 b 反向的 充要分条 件; 当 为锐角时, a b 0,且 a、 b 不同向, a b 0是 为锐角的 必要不 充分条件 ; 当 为钝角时, a b 0,且 a、 b 不反向; a b 0是 为钝角的 必要不 充分条件 . (3)非零向量 a, b 夹角 的计算公式: cos | || | a b a b ;④ a b | a ||b |. 举例 6 (1)已知 a ( ,2 ) , b (3 ,2) ,如果 a与 b 的夹角为锐角,则 的 取值范围是 ______. 结果: 4 3或 0且 1 3; 平面向量基础知识复习 4 (2)已知 △OFQ 的面积为 S,且 OF FQ 1,若 1 3 2 2 S ,则 OF , FQ 夹角 的 取值范围是 _________. 结果: , 4 3 ; (3)已知 a (cosx,sin x) , b (cos y,sin y) ,且满足 | ka b | 3 |a kb |(其中 k 0 ). ①用 k 表示 a b ;②求 a b 的最小值,并求此时 a 与 b的夹角 的大小 . 结果:① 2 1 ( 0) 4 k a b k k ;②最小值为 1 2 , 60 . 六、向量的运算 1. 几何运算 (1)向量加法 运算法则:①平行四边形法则;②三角形法则 . 运 算 形 式 : 若 AB a , BC b , 则 向 量 AC 叫 做 a 与 b 的 和 , 即 a b A B B C A;C 作图:略 . 注:平行四边形法则只适用于不共线的向量 . (2)向量的减法 运算法则:三角形法则 . 运算形式:若 AB a , AC b ,则 a b AB AC CA,即由减向量的终 点指向被减向量的终点 . 作图:略 . 注:减向量与被减向量的起点相同 . 举例 7 (1)化简:① AB BC CD ;② AB AD DC ;③ ( AB CD) ( AC BD) . 结果:① AD ;② CB ;③ 0; (2)若正方形 ABCD 的边长为 1,AB a ,BC b,AC c ,则 |a b c | . 结果: 2 2; (3)若 O是 △ABC 所在平面内一点, 且满足 OB OC OB OC 2OA ,则△ ABC 的 形状为 . 结果:直角三角形; (4)若 D 为 △ ABC 的边 BC 的中点, △ ABC 所在平面内有一点 P ,满足 PA BP CP 0 ,设 | | | | AP PD ,则 的值为 . 结果: 2; (5)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA OB CO 0 ,则 △ABC 的内角 C 为 . 结果: 120 . 2. 坐标运算 :设 1 1 a (x , y ) , b ( x2 , y2 ) ,则 (1)向量的加减法运算 : a b ( x1 x2 , y1 y2 ) , a b (x1 x2 , y1 y2 ) . 举例 8 (1)已知点 A(2,3),B(5,4) ,C (7,10) ,若 AP AB AC( R ) ,则当 ____ 时,点 P 在第一、三象限的角平分线上 . 结果: 1 2 ; 平面向量基础知识复习 5 (2)已知 A(2,3) , B(1,4) ,且 1 (sin ,cos ) 2 AB x y , , ( , ) 2 2 x y ,则 x y . 结 果: 6 或 2 ; (3)已知作用在点 A(1,1)的三个力 1 F (3,4) , 2 F (2, 5), 3 F (3,1),则合力 F F1 F2 F3 的终点坐标是 . 结果: (9,1) . (2)实数与向量的积 : 1 1 1 1 a (x , y ) ( x , y ) . (3)若 1 1 A(x , y ) , 2 2 B( x , y ) ,则 AB ( x2 x1 , y2 y1 ) ,即一个向量的坐标等 于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标 . 举例 9 设 A(2,3) , B( 1,5) ,且 1 3 AC AB , AD 3AB ,则 C, D 的坐标分别是 __________. 结果: 11 (1, ),( 7,9) 3 . (4)平面向量数量积 : a b x1 x2 y1 y2 . 举例 10 已知向量 a (sin x,cosx) , b (sin x,sin x) , c ( 1,0) . (1)若 3 x ,求向量 a 、 c 的夹角; (2)若 3 [ , ] 8 4 x ,函数 f (x) a b 的最大值为 1 2 ,求 的值 . 结果:(1)150 ; (2) 1 2 或 2 1. (5)向量的模 : 2 2 2 2 2 2 a | a | x y | a | x y . 举例 11 已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 |a 3b | = . 结果: 13 . (6)两点间的距离 :若 A( x1, y1 ) , B(x2 , y2 ) ,则 2 2 | AB | ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) . 举例 12 如图,在平面斜坐标系 xOy 中, xOy 60 ,平面上任一点 P关 于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的:若 OP xe1 ye2,其中 1 2 e ,e 分别为与 x 轴、 y 轴同 方向的单 位向量,则 P 点斜坐标为 (x, y) . (1)若点 P 的斜坐标为 (2, 2) ,求 P 到 O 的距离 | PO |; (2)求以 O为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程 . 结果:(1)2;(2) 2 2 x y xy 1 0 . 七、向量的运算律 1. 交换律: a b b a , ( a) ( )a , a b b a ; 2. 结合律: a b c (a b) c , a b c a (b c) , ( a)b (a b) a ( b) ; 3. 分配律: ( )a a a , (a b) a b , (a b) c a c b c . 举例 13 给出下列命题:① a (b c ) a b a c ;② a (b c) (a b) c ;③ 2 2 2 (a b) | a| 2 |a ||b | | b| ; O x y 60 平面向量基础知识复习 6 ④ 若 a b 0,则 a 0 或 b 0 ;⑤若 a b c b 则 a c ;⑥ 2 2 | a| a ;⑦ 2 a b b a a ; ⑧ 2 2 2 (a b) a b ;⑨ 2 2 2 (a b) a 2a b b . 其中正确的是 . 结果:①⑥⑨ . 说明:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个 向量等式, 可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数, 两边同时取模, 两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一 个向量,切记两向量不能相除 ( 相约) ; (2)向量的“乘法”不满足结合律,即 a (b c ) (a b) c ,为什么? 八、向量平行 ( 共线) 的充要条件 2 2 a / /b a b (a b) (| a ||b |) x1 y2 y1 x2 0 . 举例 14 (1) 若向量 a ( x,1) , b (4, x) ,当 x _____时, a 与 b 共线且方向 相同 . 结果: 2. (2)已知 a (1,1),b (4, x) ,u a 2b ,v 2a b ,且 u / / v,则 x . 结 果: 4. (3)设 PA ( k,12) , PB (4,5) , PC (10, k),则 k _____时, A,B,C 共线. 结 果: 2或 11. 九、向量垂直的充要条件 a b a b 0 | a b | | a b | x1x2 y1 y2 0 . 特别地 | | | | | | | | AB AC AB AC AB AC AB AC . 举例 15 (1) 已知 OA ( 1,2),OB (3,m),若 OA OB ,则 m . 结果: 3 2 m ; (2)以原点 O和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB , B 90 ,则点 B 的坐标是 . 结果: (1,3) 或(3,-1)); (3)已知 n (a,b)向量 n m ,且| n|| |m ,则 m 的坐标是 . 结果: (b, a) 或 ( b,a) . 十、线段的定比分点 1. 定义:设点 P 是直线 P1P2上异于 P1、 P2 的任意一点,若存在一个实 数 ,使 PP1 PP2 ,则实数 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比 ,P 点叫 做有向线段 P1P2 的以定比为 的定比分点 . 2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系 (1) P 内分线段 P1P2 ,即点 P 在线段 P1P2上 0 ; (2)P 外分线段 P1P2 时,①点 P 在线段 P1P2的延长线上 1,②点 P 在线段 P1P2 的反向延长线上 1 0 . 注:若点 P 分有向线段 1 2 PP 所成的比为 ,则点 P分有向线段 2 1 P P 所成的 平面向量基础知识复习 7 比为 1 . 举例 16 若点 P分 AB 所成的比为 3 4 ,则 A 分 BP 所成的比为 . 结果: 7 3 . 3. 线段的定比分点坐标公式 : 设 1 1 1 P (x , y ) , 2 2 2 P ( x , y ) ,点 P(x, y )分有向线段 P1P2 所成的比为 ,则定比分 点坐标公式为 1 2 1 2 , 1 ( 1) . 1 x x x y y y . 特别地,当 1时,就得到线段 P1P2的中点坐标公式 1 2 1 2 , 2 . 2 x x x y y y 说明:(1)在使用定比分点的坐标公式时, 应明确 (x, y) , 1 1 (x ,y ) 、 2 2 (x , y ) 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标 . (2)在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和 终点,并根据这些点确定对应的定比 . 举例 17 (1)若 M) ,2(3 ,N (6, 1),且 1 3 MP MN ,则点 P 的坐标为 . 结果: 7 ( 6, ) 3 ; (2)已知 A(a,0) , B(3,2 a) ,直线 1 2 y ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM 2 MB ,则 a . 结果:2或 4 . 十一、平移公式 如果点 P(x, y)按向量 a (h,k ) 平移至 P(x , y ),则 , . x x h y y k ;曲线 f ( x, y) 0 按 向量 a (h,k ) 平移得曲线 f ( x h, y k) 0 . 说明:(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?( 2) 向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊! 举例 18 (1)按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ,则按向量 a把点 ( 7,2) 平 移到点 ______. 结果: ( 8,3) ; ( 2)函数 y sin 2x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y cos2x 1,则 a ________. 结果: ( ,1) 4 . 十二、向量中一些常用的结论 1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; 2. 模的性质: | a | | b | | a b | | a | | b |. 平面向量基础知识复习 8 (1)右边等号成立条件: a、b 同向或 a、b 中有 0 | a b | | a | | b |; (2)左边等号成立条件: a、b 反向或 a、b 中有 0 | a b | | a | | b |; (3)当 a、b 不共线 | a | |b | | a b | | a | | b |. 3. 三角形重心公式 在 △ABC 中 ,若 1 1 A(x , y ) , 2 2 B(x , y ) , 3 3 C( x , y ) , 则 其重 心的 坐标为 1 2 3 1 2 3 ( , ) 3 3 x x x y y y G . 举例 19 若△ABC 的三边的中点分别为 A(2,1) 、B( 3,4) 、C( 1, 1) ,则 △ ABC的重 心的坐标为 . 结果: 2 4 , 3 3 . 5. 三角形“三心”的向量表示 (1) 1 ( ) 3 PG PA PB PC G为△ ABC 的重心,特别地 PA PB PC 0 G 为△ ABC 的重心 . (2) PA PB PB PC PC PA P 为△ABC的垂心 . ( 3 ) | AB| PC | BC | PA |CA| PB 0 P 为 △ ABC 的 内 心 ; 向 量 ( 0) | | | | AB AC AB AC 所在直线过 △ABC 的内心 . 6. 点 P分有向线段 P1P2 所成的比 向量形式 设点 P 分有向线段 P1P2 所成的比为 ,若 M 为平面内的任一点,则 1 2 1 MP MP MP ,特别地 P 为有向线段 P1P2 的中点 1 2 2 MP MP MP . 7. 向 量 PA,PB,PC 中 三 终 点 A,B,C 共 线 存 在 实 数 , , 使 得 P A P B P且C 1. 举例 20 平面直角坐标系中, O为坐标原点, 已知两点 A(3,1) ,B( 1,3) , 若点 C 满足 OC 1OA 2OB , 其中 1 2 , R 且 1 2 1 , 则点 C 的轨迹是 . 结 果:直线 AB |
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沙发#
发布于:2019-09-24 20:47
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