[我要吐槽]三角函数专题复习

专题辅导一 :三角函数的基本性质及解题思路
第一部分 三角函数公式
1、两角和与差的三角函数：
cos( α +β )=cos α · cos β -sin α ·sin β
cos( α - β )=cos α · cos β +sin α ·sin β
sin( α ± β)=sin α ·cos β ±cos α · sin β
tan( α +β )=(tan α +tan β )/(1-tan α ·tan β )
tan( α - β )=(tan α -tan β )/(1+tan α ·tan β
2、倍角公式：
sin(2 α )=2sin α· cos α =2/(tan α +cot α )
cos(2 α )=(cos α)^2-(sin α )^2=2(cos α )^2-1=1-2(sin α )^2
tan(2 α )=2tan α/(1-tan^2 α )
3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
sin sin cos cos sin sin2 2sin cos
令
2 2
2 2
2
2
2
cos cos cos sin sin cos2 cos sin
2cos 1 1 2sin
tan tan 1+cos2 tan cos
1 tan tan 2
1 cos2 sin
2
2tan
tan2
1 tan
令

＝
＝

4、同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系： 2 2 2 2 2 2
sin cos 1,1 tan sec ,1 cot csc
（2）倒数关系： sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,
（3）商数关系： sin cos
tan ,cot
cos sin
2
第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 ：
一角二名三结构
首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核
心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有 :
（1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、
两角与其和差角的变换 . 如 ( ) ( ) ， 2 ( ) ( ) ，
2 ( ) ( ) ， 2
2
， 2 2 2
等）。
 (2) 三角函数名互化 ( 切割化弦 ) ，如
 (3) 公式变形使用（ tan tan tan 1 tan tan 。如
 (4) 三角函数次数的降升 ( 降幂公式： 2 1 cos 2
cos
2
，
2 1 cos 2
sin
2
与升
幂公式： 2
1 cos2 2cos ，
2
1 cos2 2sin ) 。如
 (5) 式子结构的转化 ( 对角、函数名、式子结构化同 ) 。如
 (6) 常值变换主要指“ 1”的变换 （
2 2
1 sin x cos x
2 2
sec x tan x tan x cot x
tan sin
4 2
等）。
(7) 正余弦“ 三兄妹 — sinx cosx、sinxcosx ”的内存联系――“知一求二” 。如
（ 8）、辅助角公式中辅助角的确定 ：
2 2
a sin x bcos x a b sin x (其中 角
所在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 tan b
a
确定 )在求最值、化简时起着重要作用。
3
专题辅导二
三角函数的图像性质及解题思路
（一） 、知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x 图象的作图方法：
五点法：先取横坐标分别为 0，
3
, , ,2
2 2
的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，
就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
1
-1
y=sinx
-3
2
-5
2
-7
2
7
2
5
2
3
2
2
-
2
-4 -3 -2 -
o 2 3 4
y
x
1
-1
y=cosx
-3
2
-5
2
-7
2
7
2
5
2
3
2
2
-
2
-4
-3
-2 4
3
2
-
o
y
x
y=tanx
3
2 2
-
3
2
-
-
2
o
y
x
2、正弦函数 y sin x( x R) 、余弦函数 y cos x(x R) 的性质 ：
（1）定义域 ：都是 R。
（2）值域 ：都是 1,1 ，对 y sin x ，当 2
2
x k k Z 时， y 取最大值 1；当
3
2
2
x k k Z 时， y 取最小值－ 1；对 y cos x，当 x 2k k Z 时， y 取最
大值 1，当 x 2k k Z 时， y 取最小值－ 1。如
3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质
定义域 R R
x x R x k ,k Z
2
1
| 且
y sin x y cos x y tan x
4
4、周期性 ：① y sin x ， y cos x的最小正周期都是 2 ；
② f (x) Asin( x ) 和 f (x) Acos( x ) 的最小正周期都是 2
| |
T 。
5、奇偶性与对称性 ：
(1) 正弦函数 y sin x(x R) 是奇函数，对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线
2
x k k Z ；
(2) 余弦函数 y cos x( x R) 是偶函数，对称中心是 ,0
2
k k Z ，对称轴是
直线 x k k Z ；（正 ( 余) 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，
对称中心为图象与 x 轴的交点）。
6、单调性 ：
sin 2 ,2
2 2
y x在 k k k Z 上单调递增，在 3
2 ,2
2 2
k k k Z 单
调递减；
y cos x在 2k ,2k k Z 上单调递减， 在 2k ,2k 2 k Z 上单调递
增。 特别提醒 ，别忘了 k Z ！
7、 三角形中的有关公式 ：
(1) 内角和定理 ：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不
值域 [ 1, 1] [ 1, 1] R
周期性 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性
2 ]
2
2 ,
2
[
k
k
上为增
函数；
2 ]
2
3
2 ,
2
[
k
k
上
为减函数（ k Z ）
2 ]
[ 2 1 ,
k
k
；上
为 增 函 数
2 1 ]
[ 2 ,
k
k
上为减函数
（ k Z ）
k k
2
,
2
上为增函数
（ k Z）
5
能忘记！ 任意两角和 与第三个角总互补， 任意两半角和 与第三个角的半角总互余 . 锐角三角
形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方
和大于第三边的平方 .
(2) 正弦定理 ： 2
sin sin sin
a b c R
A B C
( R 为三角形外接圆的半径 ).
注 意 ： ① 正 弦 定 理 的 一 些 变 式 ： i a b c sin A sinB sin C ；
sin ,sin ,sin
2 2
a b
ii A B C
R R 2
c
R
； iii a 2Rsin A,b 2Rsin B,b 2RsinC ；
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解 .
(3) 余弦定理 ：
2 2 2
2 2 2
2 cos ,cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
等，常选用余弦定理鉴定
三角形的形状 .
 (4) 面积公式 ： 1 1 1 sin ( )
2 2 2
S aha ab C r a b c（其中 r 为三角形内切圆半径） .
如 ABC 中，若 A B A B C
2 2 2 2 2
sin cos cos sin sin ，判断 ABC 的形状（答：直角
三角形）。
特别提醒 ：（ 1）求解三角形中的问题时，一定要注意 A B C 这个特殊性：
, sin( ) sin , sin cos
2 2
A B C
A B C A B C ；（2）求解三角形中含有边角混合关
系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
8、反三角函数 ：
（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例） ： arcsin a 表示一个角，这个角的正弦
值为 a ,且这个角在 ,
2 2
内 ( 1 a 1) 。
(2) 反 正 弦 arcsin x 、 反 余 弦 arccosx 、 反 正 切 arctan x 的 取 值 范 围 分 别 是
)
2
,
2
], [0, ], (
2
,
2
[ .
在用反三角表示两异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、 二面角的平面角、 直线的
倾斜角、 1
l 到 2
l 的角、 1
l 与 2
l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？
(0, ],[0, ],[0, ]
2 2
， 0, ， [0, ),[0, ),[0, ]
2
．
6
专题辅导三
形如 y Asin( x ) 函数 的基本性质及解题思路
（一）、知识要点梳理
1、几个物理量 ：A：振幅； 1
f
T
频率（周期的倒数） ； x ：相位； ：初相；
2、函数 y Asin( x ) 表达式的确定 ：A 由最值确定； 最大值
是 A B ，最小值是 B A ， 由周期确定；
由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 ， 函 数
y As i xn )( B （其中 A 0， 0） 其 图 象 的 对 称 轴 是 直 线
( )
2
x k k Z ，凡是该图象与直线 y B 的交点都是该图象的对称
中心。
3、函数 y Asin( x ) 图象的画法 ：①“五点法”――设 X x ，令 X ＝ 0，
3
, , , 2
2 2
求出相应的 x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：
这是作函数简图常用方法。
4、函数 y Asin( x ) k 的图象与 y sin x 图象间的关系 ：
三种基本变换规律：
1．平移变换规律
(1)水平平移： y＝f( x＋ ) 的图象，可由 y＝f( x) 的图象向左 ( ＞0), 或向右 ( ＜ 0)
平移 | | 个单位得到。
(2)垂直平移： y＝f( x)+ b 的图象，可由 y＝ f( x) 的图象向上 ( b＞ 0) 或向下 ( b＜0) 平移 | b|
个单位得到。
2．对称变换规律
(1) y＝－ f(x)与 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称。
(2) y＝f(－x)与 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称。
(3) y＝f
－1
(x)与 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称。
(4) y＝－ f
-1
(－x)与 y＝f(x) 的图象关于直线 y＝－ x 对称。
(5) y＝－ f(－x)与 y＝f(x)的图象关于原点对称
3．伸缩变换规律
23题 图
2
9
Y
X
-2
2
3
7
(1) 水平伸缩： y＝f( ωx)( ω＞ 0) 的图象，可由 y＝ f( x) 的图象上每点的横坐标伸长 ( 0＜ ω
＜1) 或缩短 ( ω＞1) 到原来的 1
ω
倍( 纵坐标不变 ) 得到。
(2) 垂直伸缩 : y＝Af( x)( A＞0) 的图象，可由 y＝f( x) 的图象上每点的纵坐标伸长 ( A＞1)
或缩短 ( 0＜ A＜1) 到原来的 A 倍( 横坐标不变 ) 得到。
注：函数 y＝ Asin( ωx＋ )( A＞0, ω＞0) 的图象变换规律，是上述平移变换与伸缩变
换结合在一起的特殊情况，这一变换规律对一般函数 y=Af( ωx＋ ) ( A＞0, ω＞0)
也成立。
6、正切函数 y tan x 的图象和性质 ：
（1）定义域： { | , }
2
x x k k Z 。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数
的定义域了吗？
（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 y a 的两个相邻交点之间的距离是
一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响 ：一般说来，某一周期函数解析式加
绝对值或平方，其周期性是： 弦减半、 切不变 ．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝
对值，其周期性不变，其它不定。 如 y sin x, y sin x
2 的周期都是 , 但 y sin x
cosx 的周期为
2
，而 1
| 2sin(3 ) |, | 2sin(3 ) 2 |
6 2 6
y x y x ， y | tan x |的周
期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ,0
2
k
k Z ， 特别提醒 ：正 (余 )
切型函数的对称中心有两类： 一类是图象与 x 轴的交点， 另一类是渐近线与 x 轴的交点， 但
无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间 ,
2 2
k k k Z 内都是增函数。但 要注
意在整个定义域上不具有单调性 。

主题想法不错呢~就是排版有问题哦~建议重新排版