[用户互动]二次函数知识点汇总及详细剖析

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更多发布于：2019-11-24 15:15

二次函数知识点汇总及详细剖析
函数中，有一种多项式函数形如y= ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0），最高次数是2，这种函数，我们称之为二次函数。二次函数知识点颇多，初高中都会出现，在初中，刚刚出现在一次函数数形结合学习之后，因此，二次函知识点离不开数形结合思想。二次函数主要知识点: 一、定义与定义表达式：
一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：
y=ax2+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的三种表达式
一般式：y=ax2；+bx+c（a ，b ，c 为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h) 2；+k[抛物线的顶点P （h ，k ）]
交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和B （x 2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac- b2)/4a x 1，x 2=(-b±√b 2-4ac)/2a
三、二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
四、抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线：x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）
2. 抛物线有一个顶点P ，坐标为P[-b/2a，(4ac-b2；)/4a]。当-b/2a=0时，P 在y 轴上；
当Δ=b2-4ac=0时，P 在x 轴上。
3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。
当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。
4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与y 轴交于（0，c ）。 6. 抛物线与x 轴交点个数
Δ=b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。 Δ=b2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
五、二次函数与一元二次方程
二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，即ax 2+bx+c=0，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y ＝ax 2时，应先列表，再描点，最后连线。
列表选取自变量x 值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
六、二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y ＝ax 2+bx+c(a，b ，c 为常数，a≠0). (2)顶点式：y ＝a(x-h) 2+k(a，h ，k 为常数，a≠0).
(3)两根式：y ＝a(x-x1)(x-x2) ，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y ＝a(x-h) 2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k) ，
h ＝0时，抛物线y ＝ax 2+k的顶点在y 轴上；当k ＝0时，抛物线y ＝a(x-h) 2的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax 2的顶点在原点
如果图像经过原点，并且对称轴是y 轴，则设y=ax2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax2+k

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