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已知一点P(x₁,y₁),过点P做三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a不为0）的切线，切线的条数有多少条，我们可以转化为一元三次方程根的问题.
求解步骤如下： （1）设切点为Q（x0,ax0³+bx0²+cx0+d)是曲线上一点，则点Q处的切线斜率为k=f`(x0)=3ax0²+2bx0+c,切线方程也可以表示为I:y-(ax0³+bx0²+cx0+d)=(3ax0²+2bx0+c)(x-xo) (2)此时我们知道，如果我们求出x0的值，那么我们就一定能求出切线I的方程，换句话说，我们知道有多少个x0的值，就对应有多少条切线； （3）此时此刻，我们只需将P（x1,y1）带入切线I的方程，就会得到一个关于x0的一元三次方程，2axo³+(b-3ax₁)xo²-2bx₁x0+y₁-d-cx₁=0,方程可以简写为：Ax³+Bx²+Cx+D=0(A不为0），方程有几个解，就对应几条切线； （4）构造函数g（x）=Ax³+Bx²+Cx+D（A不为0），判断此函数的零点个数. 例1：过点（0，8)作曲线f(x)=x³-6x²+9x的切线，则这样的切线条数为？ 解答：设过点（0，8）的切线切曲线于点（x₁,y₁) 则切线的斜率k=f`（x₁）=3x₁²-12x₁+9 所以切线方程为y=(3x₁²-12x₁+9)x+8 故y₁=(3x₁²-12x₁+9)x₁+8=x₁³-6x₁²+9x₁ 所以x₁³-3x₁²+4=0 所以x₁=-1或2 所以满足条件的切线有2条 例2：已知函数f(x)=x³-3ax-1,a≠0.设h(x)=f(x)+(3a-1)x+1，证明过点P(2,1)可以作曲线h(x）的三条切线. 解答：依题可得，h(x)=x³-x,则h`(x)=3x²-1 则h(x)在（t,h(t))处的切线为y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t) 若切线过点P(2,1),则2t³-6t²+3=0（即将P点带入切线方程中） 过P点可以作曲线h(x)的三条切线等价于方程有三个不同解 设g(t)=2t³-6t²+3,则g`(t)=6t²-12t=6t(t-2) 因为g(t)在R上有唯一极大值g(0)=3﹥0和唯一极小值g(2)=-5﹤0 且在极大值点左侧存在g(-1)=-5＜0,在极小值点右侧存在g(3)=3﹥0 因此方程g(t)有三个不同解 所以过点P(2,1)可以作曲线h(x)的三条切线. |
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沙发#
发布于：2021-07-29 20:19
很多数学符号不会打，见谅（知道的可以教教我呀）
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板凳#
发布于：2021-07-29 20:47
lpzx20200428：很多数学符号不会打，见谅（知道的可以教教我呀）回到原帖电脑的话搜狗输入法哦 |
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地板#
发布于：2021-07-29 21:02
这个不错！
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![4天勇士[春]](https://bbs.jd100.com/attachment/medal/d5f4d8f255a2eac.png "4天勇士[春]"){kind=small}
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4楼#
发布于：2021-07-30 08:38
不错不错，如果说能再长一些的的话给你精华
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5楼#
发布于：2021-07-30 10:15
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6楼#
发布于：2021-07-30 10:18
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7楼#
发布于：2021-07-30 10:20
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8楼#
发布于：2021-07-30 10:21
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9楼#
发布于：2021-07-30 10:24
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