[趣味数学]兰切斯特方程

又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。
 
1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在《战斗中的飞机》一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。
 
开始是用于分析交战过程中的双方伤亡比率，后用途逐渐推广。
 
兰切斯特方程证明，相同战斗力和战斗条件下，1000对2000人作战。几轮战斗下来。多方只要伤亡268人就能全歼1000人的队伍，兰切斯特方程特别适用于现代战争中分散化军队和远程火炮配置发生的战斗，远距离战斗比如炮战、空战、舰队海战很可能出现兰切斯特方程的理想情况。
 
在1914年，英国人兰切斯特F.W.Lanchester研究空战最佳编队，发现了兰切斯特方程。
 
远距离交战的时候，任一方实力与本身数量成正比，即兰切斯特线性律。
 
在近距离交战的时候，任一方实力与本身数量的平方成正比，即兰切斯特平方律。
 
兰彻斯特的战斗力方程是：战斗力=参战单位总数×单位战斗效率。它表明：在数量达到最大饱和的条件下，提高质量才可以增强部队的战斗力，而且是倍增战斗力的最有效方法。在高新科学技术的影响下，军队的数量、质量与战斗力之间的关系已经发生了根本性变化：质量居于主导地位，数量退居次要地位，质量的优劣举足轻重，质量占绝对优势的军队将取得战争的主动权。一般说来，高技术应用在战场上形成的信息差、空间差、时间差和精度差，是无法以增加普通兵器和军队数量来弥补的；相反，作战部队数量的相对不足，却可以高技术武器装备为基础的质量优势来弥补，即通过提高单位战斗效率来提升战斗力。
 
战争实践表明，提高质量是部队建设的基本要求，在部队数量相差不大的情况下，质量高者获胜，质量差者失败；倘若不能形成同一质量层次的对抗，处于劣势的一方纵有再多的飞机、坦克、大炮，也可能失去还手之力。假定A的单位战斗力是B的一半，但是数量是B的三倍。假定B有1000人，A有3000人。如果是面对面的战斗，A方损失264人即可消灭掉B方的1000人。现在A需要先接近B在进行面对面的战斗，按兰切斯特线性律，A付出1000人的代价歼灭B500人以后接近，在2000对500的近战中，付出187人的代价歼灭B方500人，总损失1187人对1000人。兰切斯特方程没有考虑战场上的许多要素，并不完全，对局部的战役有参考价值，对整个战争的结局无能为力。兰切斯特方程在战争摸拟的时候会被经常使用，恩格尔曾经使用兰切斯特方程摸拟硫磺岛战役，计算结果与事实非常接近.
 

编辑本段公式说明


兰切斯特把战斗简化为两种基本情况：远距离交火和近距离集中火力杀伤。远距离交火时，一方损失率既和对方兵力成正比，也和己方兵力成正比，以微分方程表示即为
 
dy/dt=-a*x*y
 
dx/dt=-b*x*y
 
其中x和y分别为红军和蓝军的战斗单位数量，a和b分别为红军和蓝军的平均单位战斗力，因此双方实力相等的条件为
 
a*x=b*y
 
即任一方的实力和本身战斗单位的数量成线性关系，也称兰切斯特线性律。这就是说，如果蓝军平均单位战斗力(包括武器、训练等因素)是红军四倍的话， 100 名蓝军和400名红军的战斗力相同，100名蓝军和400名红军交战的结果是同归于尽。集中优势兵力只是拼消耗，并不占便宜。但近距离集中火力杀伤时，一方损失率仅和对方战斗单位数量成正比，而和己方战斗单位数量无关，即
 
dy/dt=-a*x
 
dx/dt=-b*y
 
双方实力相等的条件变为
 
a*x^2=b*y^2
 
即任一方实力和本身战斗单位数量的平方成正比，也称兰切斯特平方律。仍假定蓝军平均单位战斗力是红军的四倍，100名蓝军和400名红军近战后，当蓝军 100人全军覆没时，红军仍有sqrt(400^2-4*100^2)=346人留下(这里sqrt为平方根，^2为平方)，即损失54人。这就是集中兵力打歼灭战的数学依据，而且优势兵力一方的实际损失比劣势兵力的一方还小。
 
考虑另一个情况：200名蓝军和400名红军交战，双方实力相等(sqrt(400^2-4*200^2)=0)。如果红军通过战术动作或计策使蓝军分成各为100人但互不支援的两半，则红军可以 54人的代价先歼灭蓝军的第一个100人，再用剩余的力量以64人的代价歼灭蓝军的第二个100人，红军总代价为118人，总战果为200人。这就是“各个击破”原则的数学解释，也是兵败如山倒的数学解释，因为兵败的典型特征是各自为战，首尾不顾，在客观上强化了被各个击破的机会。
 
仍然考虑蓝军100人，红军400人，双方战斗力差距为4：1的情况，但双方距离很远。如果红军付出一半的代价推进到近距离，按4:1的线性律，这时红军还剩200人，蓝军50人，但接下来红军就可以发挥近战优势，以27人的代价消灭蓝军的第二个50人。这就是勇猛突破、近战歼敌以克服敌人远射火力优势的数学解释。

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