[学习方法]中考数学圆压轴之四点共圆（五）

在众多的压轴题中，当我们要证明两个角之间的关系（相等或倍数关系），可能很难想到，这时候我们就可以想一下“四点共圆”，这个东西只要你在图中想到了，就非常得简单

圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。

图片：t01c8df6baf7b3d1ca2.png

四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有:

(1)∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°(即图中∠DAB+∠DCB=180°, ∠ABC+∠ADC=180°)

(2)∠DBC=∠DAC,∠ADB=∠ACB(同弧所对的圆周角相等)。

(3)∠ADC=∠CBE(外角等于内对角，可通过(1)、(2)得到)

(4)△ABP∽△DCP(两三角形三个内角对应相等，可由(2)得到)

(5)AP*CP=BP*DP(相交弦定理)

(6)延长CD与BA交于F,FB*FA=FC*FD(割线定理)

(7)延长CD与BA交于F,圆周上找一点G,FG²= FB*FA=FD*FC(切割线定理)

(8)AB*CD+AD*CB=AC*BD(托勒密定理)

(1)-(3)都是角的关系，(5)-(8)是边的关系

然后再说一下它的判定定理吧

（*为乘号）

判定1

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．

推论：证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连成的四边形三边中垂线有交点，可肯定这四点共圆．

判定2

1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆.

2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

判定3

把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）

判定4

四边形aBCD中，若有aB*CD+aD*BC=aC*BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则aBCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。

托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形aBCD，总有aB*CD+aD*BC≥aC*BD,等号成立的条件是aBCD四点共圆。

判定5

西姆松定理逆定理：若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。

四点共圆性质

若a、B、C、D四点共圆，圆心为O，延长aB至E，aC、BD交于P

然后顺便拓展一个刚刚没有的一个定理：西姆松定理

好了，那就先说到这吧！我们下期再见哦~