qylizhi
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[我要吐槽]2017年3月23日杂谈(数学理论选讲I)

楼主#
更多 发布于:2017-03-25 12:33
最近见过一个命题:“质数有无穷多个”,被在数学《选修2-2》中列为几个经典的使用反证法证明的命题之一。此事我5岁就知道,是在一本五六年前就不见了的《小学生数学十万个为什么》看到的,但当时居然还看懂了~~证明如下:
假设素数只有有限个,最后一个素数为q,那么设所有素数之积2*3*5*7*...*q=P,最小的素数为2,故所有素数都能整除P,但是不能整除P+1,因此P+1除了1和它本身外没有其他因数,则P+1也是素数;另外显然P+1>q,而q已经是最后一个素数,矛盾,故素数有无穷多个。
用词有点乱吧,但是反正“质数”和“素数”是一对绝对等义词,用起来只是习惯问题。
另外还有一个,就是我第一次接触反证法的例子,即平行公理的推论(注意,不是公理4):平面内,如果两条直线(m、n)同时与第三条直线(l)平行,那么这两条直线互相平行,证明如下:
假设m和n不平行,相交于点P,那么过点P就有了两条直线(m、n)同时与l平行,违反了平行公理,故在平面内,如果两条直线同时与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。
平行公理严格来讲并不算是公理。在欧式数学中,除119个定义之外,只有5条公理:
(1)等量等于等量。
(2)等量加等量,和相等。
(3)等量减等量,差相等。
(4)互相重合的图形全等。
(5)整体大于部分。
由此我们可以推知欧式数学没有负数的概念,否则公理3就可以由公理2推出而不应该作为公理。另外,公理5也不是特别严密,因为假设“整体”为实数集R,“部分”为区间(-0.5π,+0.5π),那么这个部分中的任意一个数x都可以通过函数y=tanx对应于R中的任何一个数y,“部分”也未必比“整体”小(以后再讲)。除5条公理外还有5条“公设”,也就是“使用说明”,要学我的欧式数学,你得接受这些东西:
(1)两点之间可作直线。
(2)一条有限直线可以不断延长。
(3)以任意圆心和半径可以画圆。
(4)凡直角皆相等。
(5)两条直线被第三条直线所截,如果它们在这条直线的同一侧形成的两个同旁内角小于两直角之和,那么这两条直线经延长后,一定在这两个同旁内角的一侧相交。
第五条就是著名的“第五公设”。五个定理和五个共设放在一起,更显出第五公设的特殊——比其他的九条要长好几倍,自然有人会怀疑,欧几里得把它列为公设,不是因为无法证明,而是因为找不到证明。千百年来,好多优秀的数学家都努力地在此下功夫,试图利用其他知识来“证明”第五公设,但是无一例外以失败告终;有意思的是,这种努力却导致了非欧几何的诞生(黎曼几何和罗氏几何)。除了这种微不足道的瑕疵之外,《原本》确实是最伟大的数学著作了。第一次数学危机也是由此解决的,《原本》第五章的记载证明了“边长为1的正方形,其对角线长与1不可公度”,同样使用了反证法,有关内容请参考数学《选修2-2》.
反证法(归谬法)是一个好办法,在直接证明没有头绪时解决了很多问题,有数学家曾经称赞道:“归谬法是最高明的手法,比起棋手在开局时让出部分棋子以取得全局优势的让棋法,它还要高明。让棋者不过是牺牲一卒或顶多一子,而数学家则是拱手将全局让与对方!” 理固宜然。
有一个我们耳熟能详的小故事:王戎小的时候和一群小朋友玩,道旁有一棵李子树,小朋友们争先恐后地爬上树去摘李子,只有王戎不动。别人问他,他说:“树在道旁而多子,此必苦李。”取之信然。这是反证法在生活中的应用,也就是我们看见福尔摩斯说的“剥茧抽丝”的方法——一种情况下有着矛盾,那么这种情况一定是不成立的。
其余内容,以后再讲。

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沙发#
发布于:2017-03-25 19:44
好的,厉害
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