[我要吐槽]2017年3月23日杂谈(数学理论选讲I)

最近见过一个命题：“质数有无穷多个”，被在数学《选修2-2》中列为几个经典的使用反证法证明的命题之一。此事我5岁就知道，是在一本五六年前就不见了的《小学生数学十万个为什么》看到的，但当时居然还看懂了~~证明如下：
假设素数只有有限个，最后一个素数为q,那么设所有素数之积2*3*5*7*...*q=P,最小的素数为2，故所有素数都能整除P，但是不能整除P+1，因此P+1除了1和它本身外没有其他因数，则P+1也是素数；另外显然P+1＞q,而q已经是最后一个素数，矛盾，故素数有无穷多个。
用词有点乱吧，但是反正“质数”和“素数”是一对绝对等义词，用起来只是习惯问题。
另外还有一个，就是我第一次接触反证法的例子，即平行公理的推论（注意，不是公理4）：平面内，如果两条直线（m、n）同时与第三条直线（l）平行，那么这两条直线互相平行，证明如下：
假设m和n不平行，相交于点P，那么过点P就有了两条直线（m、n）同时与l平行，违反了平行公理，故在平面内，如果两条直线同时与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
平行公理严格来讲并不算是公理。在欧式数学中，除119个定义之外，只有5条公理：
（1）等量等于等量。
（2）等量加等量，和相等。
（3）等量减等量，差相等。
（4）互相重合的图形全等。
（5）整体大于部分。
由此我们可以推知欧式数学没有负数的概念，否则公理3就可以由公理2推出而不应该作为公理。另外，公理5也不是特别严密，因为假设“整体”为实数集R，“部分”为区间（-0.5π，+0.5π），那么这个部分中的任意一个数x都可以通过函数y=tanx对应于R中的任何一个数y，“部分”也未必比“整体”小（以后再讲）。除5条公理外还有5条“公设”，也就是“使用说明”，要学我的欧式数学，你得接受这些东西：
（1）两点之间可作直线。
（2）一条有限直线可以不断延长。
（3）以任意圆心和半径可以画圆。
（4）凡直角皆相等。
（5）两条直线被第三条直线所截，如果它们在这条直线的同一侧形成的两个同旁内角小于两直角之和，那么这两条直线经延长后，一定在这两个同旁内角的一侧相交。
第五条就是著名的“第五公设”。五个定理和五个共设放在一起，更显出第五公设的特殊——比其他的九条要长好几倍，自然有人会怀疑，欧几里得把它列为公设，不是因为无法证明，而是因为找不到证明。千百年来，好多优秀的数学家都努力地在此下功夫，试图利用其他知识来“证明”第五公设，但是无一例外以失败告终；有意思的是，这种努力却导致了非欧几何的诞生（黎曼几何和罗氏几何）。除了这种微不足道的瑕疵之外，《原本》确实是最伟大的数学著作了。第一次数学危机也是由此解决的，《原本》第五章的记载证明了“边长为1的正方形，其对角线长与1不可公度”，同样使用了反证法，有关内容请参考数学《选修2-2》.
反证法（归谬法）是一个好办法，在直接证明没有头绪时解决了很多问题，有数学家曾经称赞道：“归谬法是最高明的手法，比起棋手在开局时让出部分棋子以取得全局优势的让棋法，它还要高明。让棋者不过是牺牲一卒或顶多一子，而数学家则是拱手将全局让与对方！” 理固宜然。
有一个我们耳熟能详的小故事：王戎小的时候和一群小朋友玩，道旁有一棵李子树，小朋友们争先恐后地爬上树去摘李子，只有王戎不动。别人问他，他说：“树在道旁而多子，此必苦李。”取之信然。这是反证法在生活中的应用，也就是我们看见福尔摩斯说的“剥茧抽丝”的方法——一种情况下有着矛盾，那么这种情况一定是不成立的。
其余内容，以后再讲。

好的，厉害