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专题辅导一 :三角函数的基本性质及解题思路
第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数: cos( α +β )=cos α · cos β -sin α ·sin β cos( α - β )=cos α · cos β +sin α ·sin β sin( α ± β)=sin α ·cos β ±cos α · sin β tan( α +β )=(tan α +tan β )/(1-tan α ·tan β ) tan( α - β )=(tan α -tan β )/(1+tan α ·tan β 2、倍角公式: sin(2 α )=2sin α· cos α =2/(tan α +cot α ) cos(2 α )=(cos α)^2-(sin α )^2=2(cos α )^2-1=1-2(sin α )^2 tan(2 α )=2tan α/(1-tan^2 α ) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: sin sin cos cos sin sin2 2sin cos 令 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos sin sin cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin tan tan 1+cos2 tan cos 1 tan tan 2 1 cos2 sin 2 2tan tan2 1 tan 令 = = 4、同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: 2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1 tan sec ,1 cot csc (2)倒数关系: sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1, (3)商数关系: sin cos tan ,cot cos sin 2 第二部分:三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 : 一角二名三结构 首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核 心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三观察代数式的结构特点。 基本的技巧有 : (1)巧变角 (已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换 . 如 ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) , 2 ( ) ( ) , 2 2 , 2 2 2 等)。 (2) 三角函数名互化 ( 切割化弦 ) ,如 (3) 公式变形使用( tan tan tan 1 tan tan 。如 (4) 三角函数次数的降升 ( 降幂公式: 2 1 cos 2 cos 2 , 2 1 cos 2 sin 2 与升 幂公式: 2 1 cos2 2cos , 2 1 cos2 2sin ) 。如 (5) 式子结构的转化 ( 对角、函数名、式子结构化同 ) 。如 (6) 常值变换主要指“ 1”的变换 ( 2 2 1 sin x cos x 2 2 sec x tan x tan x cot x tan sin 4 2 等)。 (7) 正余弦“ 三兄妹 — sinx cosx、sinxcosx ”的内存联系――“知一求二” 。如 ( 8)、辅助角公式中辅助角的确定 : 2 2 a sin x bcos x a b sin x (其中 角 所在的象限由 a, b 的符号确定, 角的值由 tan b a 确定 )在求最值、化简时起着重要作用。 3 专题辅导二 三角函数的图像性质及解题思路 (一) 、知识要点梳理 1、正弦函数和余弦函数的图象: 正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x 图象的作图方法: 五点法:先取横坐标分别为 0, 3 , , ,2 2 2 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来, 就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 - o 2 3 4 y x 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 - 2 -4 -3 -2 4 3 2 - o y x y=tanx 3 2 2 - 3 2 - - 2 o y x 2、正弦函数 y sin x( x R) 、余弦函数 y cos x(x R) 的性质 : (1)定义域 :都是 R。 (2)值域 :都是 1,1 ,对 y sin x ,当 2 2 x k k Z 时, y 取最大值 1;当 3 2 2 x k k Z 时, y 取最小值- 1;对 y cos x,当 x 2k k Z 时, y 取最 大值 1,当 x 2k k Z 时, y 取最小值- 1。如 3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 定义域 R R x x R x k ,k Z 2 1 | 且 y sin x y cos x y tan x 4 4、周期性 :① y sin x , y cos x的最小正周期都是 2 ; ② f (x) Asin( x ) 和 f (x) Acos( x ) 的最小正周期都是 2 | | T 。 5、奇偶性与对称性 : (1) 正弦函数 y sin x(x R) 是奇函数,对称中心是 k ,0 k Z ,对称轴是直线 2 x k k Z ; (2) 余弦函数 y cos x( x R) 是偶函数,对称中心是 ,0 2 k k Z ,对称轴是 直线 x k k Z ;(正 ( 余) 弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴的交点)。 6、单调性 : sin 2 ,2 2 2 y x在 k k k Z 上单调递增,在 3 2 ,2 2 2 k k k Z 单 调递减; y cos x在 2k ,2k k Z 上单调递减, 在 2k ,2k 2 k Z 上单调递 增。 特别提醒 ,别忘了 k Z ! 7、 三角形中的有关公式 : (1) 内角和定理 :三角形三角和为 ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不 值域 [ 1, 1] [ 1, 1] R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 2 ] 2 2 , 2 [ k k 上为增 函数; 2 ] 2 3 2 , 2 [ k k 上 为减函数( k Z ) 2 ] [ 2 1 , k k ;上 为 增 函 数 2 1 ] [ 2 , k k 上为减函数 ( k Z ) k k 2 , 2 上为增函数 ( k Z) 5 能忘记! 任意两角和 与第三个角总互补, 任意两半角和 与第三个角的半角总互余 . 锐角三角 形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方 和大于第三边的平方 . (2) 正弦定理 : 2 sin sin sin a b c R A B C ( R 为三角形外接圆的半径 ). 注 意 : ① 正 弦 定 理 的 一 些 变 式 : i a b c sin A sinB sin C ; sin ,sin ,sin 2 2 a b ii A B C R R 2 c R ; iii a 2Rsin A,b 2Rsin B,b 2RsinC ; ②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解 . (3) 余弦定理 : 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos 2 b c a a b c bc A A bc 等,常选用余弦定理鉴定 三角形的形状 . (4) 面积公式 : 1 1 1 sin ( ) 2 2 2 S aha ab C r a b c(其中 r 为三角形内切圆半径) . 如 ABC 中,若 A B A B C 2 2 2 2 2 sin cos cos sin sin ,判断 ABC 的形状(答:直角 三角形)。 特别提醒 :( 1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A B C 这个特殊性: , sin( ) sin , sin cos 2 2 A B C A B C A B C ;(2)求解三角形中含有边角混合关 系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 8、反三角函数 : (1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例) : arcsin a 表示一个角,这个角的正弦 值为 a ,且这个角在 , 2 2 内 ( 1 a 1) 。 (2) 反 正 弦 arcsin x 、 反 余 弦 arccosx 、 反 正 切 arctan x 的 取 值 范 围 分 别 是 ) 2 , 2 ], [0, ], ( 2 , 2 [ . 在用反三角表示两异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、 二面角的平面角、 直线的 倾斜角、 1 l 到 2 l 的角、 1 l 与 2 l 的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围? (0, ],[0, ],[0, ] 2 2 , 0, , [0, ),[0, ),[0, ] 2 . 6 专题辅导三 形如 y Asin( x ) 函数 的基本性质及解题思路 (一)、知识要点梳理 1、几个物理量 :A:振幅; 1 f T 频率(周期的倒数) ; x :相位; :初相; 2、函数 y Asin( x ) 表达式的确定 :A 由最值确定; 最大值 是 A B ,最小值是 B A , 由周期确定; 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 函 数 y As i xn )( B (其中 A 0, 0) 其 图 象 的 对 称 轴 是 直 线 ( ) 2 x k k Z ,凡是该图象与直线 y B 的交点都是该图象的对称 中心。 3、函数 y Asin( x ) 图象的画法 :①“五点法”――设 X x ,令 X = 0, 3 , , , 2 2 2 求出相应的 x值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法: 这是作函数简图常用方法。 4、函数 y Asin( x ) k 的图象与 y sin x 图象间的关系 : 三种基本变换规律: 1.平移变换规律 (1)水平平移: y=f( x+ ) 的图象,可由 y=f( x) 的图象向左 ( >0), 或向右 ( < 0) 平移 | | 个单位得到。 (2)垂直平移: y=f( x)+ b 的图象,可由 y= f( x) 的图象向上 ( b> 0) 或向下 ( b<0) 平移 | b| 个单位得到。 2.对称变换规律 (1) y=- f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称。 (2) y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称。 (3) y=f -1 (x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称。 (4) y=- f -1 (-x)与 y=f(x) 的图象关于直线 y=- x 对称。 (5) y=- f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称 3.伸缩变换规律 23题 图 2 9 Y X -2 2 3 7 (1) 水平伸缩: y=f( ωx)( ω> 0) 的图象,可由 y= f( x) 的图象上每点的横坐标伸长 ( 0< ω <1) 或缩短 ( ω>1) 到原来的 1 ω 倍( 纵坐标不变 ) 得到。 (2) 垂直伸缩 : y=Af( x)( A>0) 的图象,可由 y=f( x) 的图象上每点的纵坐标伸长 ( A>1) 或缩短 ( 0< A<1) 到原来的 A 倍( 横坐标不变 ) 得到。 注:函数 y= Asin( ωx+ )( A>0, ω>0) 的图象变换规律,是上述平移变换与伸缩变 换结合在一起的特殊情况,这一变换规律对一般函数 y=Af( ωx+ ) ( A>0, ω>0) 也成立。 6、正切函数 y tan x 的图象和性质 : (1)定义域: { | , } 2 x x k k Z 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数 的定义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ,它与直线 y a 的两个相邻交点之间的距离是 一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响 :一般说来,某一周期函数解析式加 绝对值或平方,其周期性是: 弦减半、 切不变 .既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝 对值,其周期性不变,其它不定。 如 y sin x, y sin x 2 的周期都是 , 但 y sin x cosx 的周期为 2 ,而 1 | 2sin(3 ) |, | 2sin(3 ) 2 | 6 2 6 y x y x , y | tan x |的周 期不变; (4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ,0 2 k k Z , 特别提醒 :正 (余 ) 切型函数的对称中心有两类: 一类是图象与 x 轴的交点, 另一类是渐近线与 x 轴的交点, 但 无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间 , 2 2 k k k Z 内都是增函数。但 要注 意在整个定义域上不具有单调性 。 |
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主题想法不错呢~就是排版有问题哦~建议重新排版
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