数列的全部重要知识点，超有用的

1.

公式法：



等差数列求和公式


:  
d
2
1)
-
n(n
na
2
)
a
n(a
S
1
n
1
n








等比数列求和公式：


 
1)
(q
   
1
q)
a
-
(a
q
1
)
q
-
(1
a
S
1)
(q
 
na
S
n
1
n
1
n
1
n







q


等差数列通项公式：
 
d
n
a
a
n
)
1
(
1





等比数列通项公式：
 
1
1


n
n
q
a
a


2.
错位相减法



适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式

和等差等比数列相乘
}
{
},
{a
n
n
b
分别是等差
数列和等比数列
.
n
n
3
3
2
2
1
1
n
b
a
...
b
a
b
a
b
a
S






 
例题：

n
n
1
1
1
n
}
{c
,
,
,
)
1
(
S
b
a
c
q
a
b
d
n
a
a
n
n
n
n
n
n
项和
的前
求
已知











2
1
-
n
2
d
n
1
1
1
1
1
-
n
2
d
n
1
1
1
1
1
-
n
d
n
1
n
1
1
n
4
3
2
1
n
n
1
1
1
n
n
1
-
n
n
n
2
3
3
1
2
2
1
1
n

1
n
n
n
1
-
n
4
3
3
2
2
1
n
n
n
4
4
3
3
2
2
1
1
n
q)
-
(1
q
-
1
b
q
d)b
-
nd
(a
-
b
a

q
-
1
q
-
1
b
q
d)b
-
nd
(a
-
b
a
       
         
q
1
q
-
1
b2
q
b
a
-
b
a
       
         
     
)
b
...
b
b
d(b
b
a
-
b
a
       
         
b
a
-
]
a
-
(a
b
...
)
a
-
(a
b
)
a
-
(a
b
b
a

S
)
1
(
b
a
b
a
...
b
a
b
a
b
a

qS
b
a
....
b
a
b
a
b
a
b
a
）
（
）
（
）
（
①
据题意得：
解：







































n
S
q
S

3.
倒序相加法

这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）
，再把它与原数列相加，
就可以得到
n
个
)
a
(a
n
1


例题：已知等差数列
}
{
n
a
，求该数列前
n
项和
n
S










2
2
)
1
(
)
1
(
2
       
         
a

......
a
a

a
S
 
a

......
a

a

a

S
1
2
-
n
1
-
n
n
n
n
3
2
1
n
an
a
n
S
an
a
n
S
n
n
















②，得
由①
②
①
据题意得，
解：


4.
分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.

5.
裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即然后累加时抵消中间的许多项。

常用公式：



)
(
1
1
)
3
(
)
1
2
1
1
2
1
(
2
1
)
1
2
)(
1
2
(
1
)
2
(
1
1
1
)
1
(
n
1
)
1
(
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n
n
n
n


















例题：求数列
)
1
(
1
a


n
n
n
的前
n
项和
n
S



1
1
1
1
1
1
.....
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
1
)
1
(
1



















n
n
n
S
n
n
n
n
a
n
n
解：


小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几
项。

注意：

余下的项具有如下的特点
 
1
余下的项前后的位置前后是对称的。
 
2
余下的项前后的正负性是相反的。


6.
数学归纳法

一般地，证明一个与正整数
n
有关的命题，有如下步骤：

（
1
）证明当
n
取第一个值时命题成立；

（
2
）假设当
n=k
（
k
≥
n
的第一个值，
k
为自然数）时命题成立，证明当
n=k+1
时命题也成立。

例题：求证：
1
×
2
×
3
×
4
+
2
×
3
×
4
×
5
+
3
×
4
×
5
×
6
+
……
+
n(n+1)(n+2)(n+3)


=
5
4)
3)(n
2)(n
1)(n
n(n




 






3



原命题始终成立
综上所述，当
，等式成立
（
时，
当
则
时，原命题成立，
假设当
，等式成立
时，
当
证明：
,
5
5)
k
4)
3)(k
2)(k
1)(k
(k
4)
3)(k
2)(k
1)(k
(k
5
4)
3)(k
2)(k
1)(k
k(k
4)
3)(k
2)(k
1)(k
(k
3)
2)(k
1)(k
(k
k

...


6
5
4
3


5
4
3
2


4
3
2
1
3)
2)(n
1)(n
n(n


.....


6
5
4
3


5
4
3
2


4
3
2
1
1
n
5
4)
3)(k
2)(k
1)(k
k(k

3)
2)(k
1)(k
(k
k

...


6
5
4
3


5
4
3
2


4
3
2
1
5
5
4
3
2


24


4
3
2
1
1
*
N
n
k
k
n
n


























































































7.
通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。


8.
（备用）

)
)(
(
)
)(
(
2
2
3
3
2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
a


这是啥玩意额