[趣味数学]西姆松定理

楼主^#

更多发布于：2015-07-13 09:16

西姆松定理说明http://baike.haosou.com/doc/5813093.htmlhttp://baike.haosou.com/create/edit/?eid=5813093&

有三角形ABC，平面上有一点P。P在三角形三边上的http://baike.haosou.com/doc/516484.html （即由P到边上的垂足）共线（此线称为西姆松线, Simson line）当且仅当P在三角形的外接圆上。相关的结果有：
称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在http://baike.haosou.com/doc/6717275.html 上。两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。
若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

希姆松定理

证明http://baike.haosou.com/doc/5813093.htmlhttp://baike.haosou.com/create/edit/?eid=5813093&

证明一： △ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN

希姆松定理
垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.
故A、B、P、C四点共圆。若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.故L、M、N三点共线。

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zhangx...

zzqcy

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沙发^#

发布于：2015-07-14 20:27

这又是啥。？

旧梦空城丶

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ma13854452708 高级学员粉丝368 关注975 发帖数407 铜币4165枚贡献值152点好评度611 来自山东省潍坊市市辖区最后登录2016-06-09 加关注写私信	板凳^# 发布于：2015-07-14 20:30 zzqcy：这又是啥。？回到原帖你很有耐心回我贴子嘛辛苦你了
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zzqcy

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地板^#

发布于：2015-07-14 20:32

ma13854452708：你很有耐心回我贴子嘛辛苦你了回到原帖

没有。你不知道沙发么？凑齐100个可以拿一个勋章。

旧梦空城丶

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ma13854452708 高级学员粉丝368 关注975 发帖数407 铜币4165枚贡献值152点好评度611 来自山东省潍坊市市辖区最后登录2016-06-09 加关注写私信	4楼^# 发布于：2015-07-14 20:33 zzqcy：没有。你不知道沙发么？凑齐100个可以拿一个勋章。回到原帖哦原来你是为这个我还以为什么呢
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