[趣味数学]饮马问题的拓展与应用

饮马问题的拓展与应用【走进数学故事】
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．
如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总路程最短？
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
[对称性在初等数学到高等数学中都有着广泛的应用，利用对称性求最值的问题将伴随着学生从小学到大学的数学学习过程．在恰当的时机引领学生进行合理的探索，显得迫切而必要．]
【探索数学本真】
如图所示，从
出发向河岸引垂线，垂足为，在 的延长线上，取 关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于，则 点就是饮马的地方，将军只要从 出发，沿直线走到，饮马之后，再由
沿直线走到，所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点 饮马，所走的路程就是，但是=＞．可见，在 点外任何一点
饮马，所走的路程都要远一些．由作法可知，河流 相当于线段 的中垂线，所以．将军走的路程就是，就等于，而两点确定一条直线，所以当 点为直线 与直线
的交点时，最短．
当然，若取
点的对称点，连结，结论亦然．
[初中阶段的图形变换包括对称变换、平移变换、旋转变换与相似变换，通过对称变换的探索，使学生掌握研究图形变换的思想方法，实现思维迁移，达到举一反三的作用．]
【初步感知变式】
变式1、如图，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线L的
距离BD是1千米，并且C、D的距离为4千米，在直线L上找一
点P，使PA+PB的值最小，并求这个最小值．
分析：作点A关于直线L的对称点，当点P为直线
与
直线L的交点时，PA+PB最短．因为，，
∠H=90°，所以，即PA+PB的最小值为
千米．
变式2、如图，在直角坐标系XOY中，X轴上的动点M（X，0）
到定点P（，1）和到Q（4，5）的距离分别为MP和MQ，
那么当MP+MQ取最小值时，求点M的横坐标．
分析：作点P（，1）关于x轴的对称点
（，），
当M为直线 与x轴的交点时，MP+MQ的值最小．
由 （，），Q（4，5）可得直线
的解析式
为，所以点M的横坐标为．
变式3：在直角坐标系中，有四个点A（，1）、B（，5）、
C（0，n）、D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时，
求
的值．
分析：分别作A、B关于x轴、y轴的对称点、，当C、D
为直线 与x轴、y轴的交点时，四边形ABCD的周长最短．
由
（，）、（4，5）可得直线 的解析式为
，所以点C（0，3）、D（，0），所以
的
值为．
[饮马问题的核心是怎样化归为两点之间线段最短．通过设置不同的问题背景，在变式
过程中让学生感悟这种化归思想，提升学生分析问题与解决问题的能力．]

发现我啥也看不懂