[趣味数学]圆周率的9个诡异现象

每年的 3 月 14 日是圆周率日。在这一天，很多全世界的数学爱好者都会烘烤各种口味的馅饼(pie)以此来庆祝数学中最具代表性的无理数：π。毕竟 3.14 日是一年之中纪念这个重要数学常数的最佳时刻。

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圆周率(π 或 Pi)是一个圆的周长与直径的比值。它作为无理数，它不能被表示为两个整数的分数，而是一个无穷无尽、永不重复的数。

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圆的周长略大于其直径的三倍长。


但是这个无理数是如何被发现的？经过人们几千年的研究，这个数字还有其他什么秘密吗？从这个数字的古老起源，到它未知的神秘性质，这下面就是关于圆周率 π 的 10 个令人惊异的事实

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记忆背诵 π 的数位
据吉尼斯世界纪录记载，圆周率最多的记录属于印度韦洛尔的拉杰维尔·米纳，他在 2015 年 3 月 21 日花费了 9 小时 27 分钟内背诵了 7 万个圆周率的小数位。而此前的记录保持者，根据吉尼斯世界纪录，中国赵璐曾在 2005 年背诵到第 67890 位。


据英国《卫报》报道，还有一位非官方记录保持者，日本原口证（Akira Haraguchi），他在 2005 年录制了自己背诵圆周率小数点后 10 万位的视频，最近更是突破了 11.7 万位。


全球的数字爱好者们为了记住 π 的更多数位，会使用一些辅助记忆技巧手段，如被称为“π 学”的记忆技巧来辅助记忆。


“ 山巅一寺一壶酒（3.14159），尔乐苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒杀尔（932），杀不死（384），乐尔乐（626）。”


而国外发烧友他们用 π 语写的诗（每个单词中的字母数对应一个 π 的数位），比如这段 π 文诗的节选：


How I want a drink， alcoholic of course， after the heavy lectures involving quantum mechanics。 Now I fall， a tired suburbian in liquid under the trees， Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe。 （诗译：一堆量子力学讲座后，我想喝点什么，比如来点酒， 我跌倒在树下，一个疲惫酒醉的乡下人， 漂流在红树林旁，欧洲的暮色中。） （“How”单词有三个字符，“I”有一个，“want”有四个，依此类推。）


圆周率文字学的诞生
文学爱好者们发明了一种“π 语”，叫做 Pilish，这种语言类似上面记忆数位的技巧，连续单词中的字符个数与 π 数位一致。例如，迈克·基思（Mike Keith）的《Not A Wake》书中（2010 年，Vinculum Press 出版社）完全是用 π 语写成的：


Now I fall， a tired suburbian in liquid under the trees， Drifting alongside forests simmering red in the twilight over Europe。


可以利用这种方式来背诵 π，当然记忆大巨长的 π 的数位值时显然是缺乏效率。


人类认识 π 的程度呈指数增长

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▲π的近似值记录时间轴图，注意垂直坐标使用了对数坐标。(图自维基)


圆周率是一个无限不循环小数，根据定义，人类永远也没法确定圆周率的所有位数。但是自 π 使用以来，数学家计算出来的小数位数确呈指数增长。


公元前 2000 年，巴比伦人认为分数 31/8 已经足够精细，而《旧约全书》作者似乎非常乐意使用整数 3 作为圆周率的近似值。公元 5 世纪时，南朝宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后 7 位数字。后来到了 1665 年，艾萨克·牛顿已经将 π 计算到小数点后 16 位。根据 1719 年，法国数学家托马斯·范泰德·拉尼计算出了 127 位小数，但遗憾是只有 112 位是正确的。


而计算机的出现，更是飞速提升了人类对 π 精度的认知。当数学家发现新的算法、电脑变得普及时，π的已知小数位急剧增加(如上面图形所示)。


根据《圆周率的历史》，1949 年至 1967 年间，圆周率的已知小数位数从 2037 猛增至巴黎 ENIAC 型计算机 CDC6600 得出的 50 万。而在 2019 年圆周率那天，谷歌工程师利用云计算更是计算到小数点后 31.4 万亿位，刷新了新的世界记录。


手算圆周率的方法

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？可以用最原始的方法计算圆周率，可以用一把尺子、一个圆罐和一根细绳、或者用一把圆规和一支铅笔来完成这项任务。用罐头法的缺点也很明显，首先我们需要是一个完美的圆形，还有能否准确围绕其周长绕一圈绳子也将直接影响其精确度。同样，用圆规画个圆，然后用尺子测量其直径或半径，也对准确和精度也需要较高挑战。


而更精确的选择是使用几何方法，比如割圆术。把一个圆分成多个部分（就像八片或十片切开的披萨一样）。然后，计算一条直线的长度，这条直线将把切片变成有两边相等的等腰三角形。加上所有的边对 π 产生粗略的近似。当分割的片段越多，对 π 的逼近就越精确。


π 的发现

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最早有记载的对圆周率估值在古埃及和巴比伦，在 4000 年前，古巴比伦人就知道了 π 的存在。科学家发现一块公元前 1900 年到公元前 1680 年间的巴比伦泥板上显示出圆周率为 ，而公元前 1650 年，埃及的著名数学文献之一的莱因德数学纸草书上记录其值为 。


在《圣经》中对于 的近似值也这样描述过：“他又铸一个铜海，样式是圆的，高五肘，径十肘，围三十肘。” 其中肘就是用来估计 π 值的一个古老的长度单位，一肘相当于从手肘到中指尖的长度（估计大约 46 厘米）。


希腊数学家阿基米德（公元前 28—212 年）用圆内接多边形和相似圆外切多边形，当边数足够大时，两多边形的周长便一个由上，一个由下的趋近于圆周长。他先用六边形，以后逐次加倍边数，到了九十六边形，阿基米德计算出其面积，并且指出圆周率的值在 223/71<π<22/7。


我国数学家祖冲之(公元 429~500)利用某种近似的方法计算出了 的近似值是 。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。


π 符号的诞生

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欧拉


在把符号 π 专指圆周率之前，数学家们不得不说一长串数值来代表它。据考古学家对古书的研究，在一本老书中发现了一个拉丁短语“quantitas in quam cum multiflicetur diameter， proveniet circumferencia”，意指“乘以直径可以等于周长的定量”，也就是圆周率 π 了。


而 π 第一次被提到是在一个鲜为人知的数学家威廉·琼斯（William Jones）的书中，他在 1706 年的《帕尔马里奥·马塞索斯概要》（Synopsis Palmariorum Matheseos）一书中使用了 希腊字母 π 代指圆周率。琼斯选用了 π 的原因可能是因为它是希腊文中“周边”一词“περιφ？ρεια”的第一个字]。


巴塞尔问题是一个著名的数论问题，就是计算所有平方数的倒数和的准确值是什么，这个问题难倒了之前的数学家。1735年，伟大的瑞士数学家欧拉解决了，找到它与 π 的关系。

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在 1736 年，欧拉在他的新书《力学》里用到的 π 这个符号，并且由于他频繁会与欧洲各国数学家通信往来讨论数学问题，其他数学家就纷纷接受这种用法，于是将 π 指代为圆周率传播开来，推广到整个世界。


π 是正规数吗？
尽管数学家已经揭开了这个无理数的许多谜团，但仍然有一些问题还等着人们进一步探索。比如，无穷无尽的 π 如此神秘，它属于正规数(Normal Number)吗？


截止目前为止，数学家仍然不知道圆周率是否属于所谓的正规数(即所有数字出现频率相同的数)，或者说这个数字中的 0 到 9 出现的概率是不是平均为 10%，而两位数值的任何组合(比如“36”)也平均为 1% 的概率出现。在 arXiv 杂志 2016 年 11 月 30 日出版的预印本上，作者Peter Trueb计算出，至少根据前 2.24 万亿的数字，数字 0 到 9 的频率表明 π 是正规数。这样基于实验证据，数学家猜想它很可能是正规数。当然考虑到 π 有无穷多个数字，唯一能证明这一点的方法就是给出严格的数学证明。


数学家们还在为此而努力，希望找到这个最著名无理数 π，以及另外一些无理数 √2、e、ln{2} 的证明，尽管他们已经对其数字的性质和分布取得了一些成果。


超越数
虽然科学家不知道圆周率是否正规数，但他们对圆周率的其他特性以已经有了更多了解。18世纪的数学家约翰·海因里希·兰伯特（JohannHeinrichLambert）利用 tan(x) 的无穷连分数表达式证明了π是超越数(Transcendental Number)。

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后来，数学家证明 π 也是超越数的。在数学术语中，超越数意味着这个数不能是任何有理数系数多项式的根。换句话说没有一个有限的、求根公式可以用有理数来计算出 π。


而超越数的证明，其实解决了几千年来数学上关于尺规作图三大难题，即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现，这三大问题被证明为不可能。


π 的危机

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虽然许多数学爱好者对 π 很感兴趣，但另一种意见正在滋长。有人认为 π 是一个派生出来的常量，而 τ（等于 2π）其实是一个更直观好用的无理数。

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图自：taoday。com


《Tau 宣言》的作者迈克尔·哈特尔（Michael Hartl）认为用 τ 能将很多数学、物理上的公式简化，使得变得更加优雅。比如，直接能将周长与半径联系起来，而半径在数学上是一个更重要的值。

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当然，τ 在三角计算中也有简化的效果，例如， 弧度对应于刚好扫过四分之一圆的角度。


在国际数学日庆祝 π 日！
1988 年，物理学家赖瑞·萧在旧金山探险家科学博物馆举办了首次圆周率派对，然后每年的这天，那里的工作人员和游客们都举着 π 的某位数值在那里举行一次环形游行，活动里当然免不了还要品尝下美味的馅饼。

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▲ 赖瑞·萧及 Pi Day 的环形游行


在 2019 年联合国教科文组织第四十届大会上正式宣布每年的 3 月 14 日是“国际数学日”，相信在这个特殊的日子里开展纪念和庆祝活动会让更多学子欣赏数学，了解它在我们日常生活中的美丽，作为理解世界的运作和探索未来不可或缺的重要工具，而计算更精确的 π 值的追求也永远在路上。

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神奇就完了