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[学习方法]高考数学(四)凸函数与凹函数

楼主#
更多 发布于:2024-02-06 13:41
纯手打,累。。。

序言
凸凹性是函数的性质,也有多⽅⾯的应⽤,特别是在机器学习上,凸凹性的函数不仅在国外有争
议,在国内也有不同的叫法,也有些教材会把凸定义为上凸,凹定义为下凸。
我们一般在做新定义的题目经常会遇到,所以今天我们来做一个总结




判断方法1(二阶导)

  • 如果函数f(x)在区间I上二阶可导,那么:
  • 如果f''(x) > 0在区间I上恒成立,则f(x)在区间I上是凹函数。
  • 如果f''(x) < 0在区间I上恒成立,则f(x)在区间I上是凸函数。


  • 判断方法2(一阶导)


  • 如果函数f(x)在区间I上可导,且存在另一个函数g(x) = f'(x),那么:如果g(x)在区间I上单调递增,则f(x)在区间I上是凹函数。
  • 如果g(x)在区间I上单调递减,则f(x)在区间I上是凸函数。

判断方法3(定义法)
凸函数的定义
假设f(x)在[a,b]上连续,若对于任意的x1,x2∈[a,b],恒有
f[(x1+x2)/2]≥[f(x1)+f(x2)]/2,则称f(x)在[a,b]上是凸函数
凹函数的定义
假设f(x)在[a,b]上连续,若对于任意的x1,x2∈[a,b],恒有
f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2,则称f(x)在[a,b]上是凹函数

下面,我们再来说一下一些相关性质:

  1. 对于凹函数,其一阶导数(即函数的斜率)是单调递增的,这意味着随着x的增大,函数的斜率也在增大。同时,凹函数的二阶导数大于0,即函数的斜率的变化率是正数。

  2. 对于凸函数,其一阶导数是单调递减的,即随着x的增大,函数的斜率在减小。相应地,凸函数的二阶导数小于0,即函数的斜率的变化率是负数。
最后,再来说一下高中阶段几个常见的凸函数和凹函数(记到了考试直接秒了喔

  • 指数函数 e^{ax} 为凸函数

  • 正数幂函数x^{a}(x > 0 ) 在 a ≥ 1 时是凸函数,在 0 < a < 1  时是凹函数

  • 绝对值的幂函数  |x|^p 在 p ≥ 1  时是凸函数

  • 对数函数lgx 是凹函数

  • 负熵函数 xlgx 是凸函数
好啦,常见的也就是这几个喽
别忘了
喔!

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JD1684581466278961JD1684...
接下来最幸福的事情莫过于,三年后被理想大学录取,使劲吃睡玩,能和喜欢的人在一起。

把自己扔到宇宙里,所有好的坏的,开心不开心的,就不那么闪耀了。
JD1684581466278
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沙发#
发布于:2024-02-06 14:07
身为初二的我根本看不懂「▼ . ▼」
过客闲庭-可可大小姐♥喜欢有腹肌的学霸咖啡~~~(〜 ̄▽ ̄)〜
JD1703684645620
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板凳#
发布于:2024-02-06 14:17
JD1684581466278:身为初二的我根本看不懂「▼ . ▼」回到原帖
身为数学菜渣子我也不会
【过客闲庭】 杰杰爱自己要多一些,爱生活,ZZZ
JD1684581466278
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地板#
发布于:2024-02-06 14:25
JD1703684645620:身为数学菜渣子我也不会回到原帖
毕竟是高中知识哎!
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JD1703684645620
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4楼#
发布于:2024-02-06 17:52
@tangwenya888 去新鲜事吧
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