[趣味数学]托勒密定理

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更多发布于：2015-07-13 09:11

托勒密定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文:圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.

（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）
在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.
则△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)

由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,
所以△ABC∽△AED.
BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一http://baike.haosou.com/doc/4683055.html 。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

设ABCD是圆内接四边形。在http://baike.haosou.com/doc/5051415.html BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。
http://baike.haosou.com/doc/862867.html ：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包http://baike.haosou.com/doc/898601.html 的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．
证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．
四、广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有：
m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(A+C)

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