[趣味数学]圆幂定理

圆幂定理是一个总结性的定理，是对http://baike.haosou.com/doc/5580523.html 、http://baike.haosou.com/doc/5344176.html 及http://baike.haosou.com/doc/1504652.html （切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳。根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：
http://baike.haosou.com/doc/5580523.html ：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
http://baike.haosou.com/doc/5344176.html ：从圆外一点引圆的http://baike.haosou.com/doc/6637748.html 和割线，http://baike.haosou.com/doc/6637801.html 是这点到割线与圆交点的两条线段长的http://baike.haosou.com/doc/6003048.html 。
http://baike.haosou.com/doc/5344176.html ：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD
从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。





 

 定义：一点P对半径R的http://baike.haosou.com/doc/3322877.html O的幂定义如下：http://baike.haosou.com/doc/1259901.html a=OP²-R²
符号：圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零


 
 
 

定理内容http://baike.haosou.com/doc/5334871-5570309.htmlhttp://baike.haosou.com/create/edit/?eid=5334871&



过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA×PB=PC×PD 。
考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O于M、N，R为圆的半径，则有
PA×PB=PC×PD=PM×PN=(OP+R)│OP-R│=│OP²-R²│
 
 
 


定理证明http://baike.haosou.com/doc/5334871-5570309.htmlhttp://baike.haosou.com/create/edit/?eid=5334871&




图Ⅰ：http://baike.haosou.com/doc/5580523.html 。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由http://baike.haosou.com/doc/3387146.html 知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以 △PAD∽△PCB。所以有：PA/PC=PD/PB，即：PA×PB=PC×PD 。图Ⅱ：http://baike.haosou.com/doc/1504652.html 。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有△PAD∽△PCB，同上证得 PA×PB=PC×PD。
图Ⅲ：http://baike.haosou.com/doc/5344176.html 。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有△PAC∽△PDA ，易证PA²=PC×PD。图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此 △PAO≌△PCO。所以PA=PC，所以 PA²=PC²。
综上可知，PA×PB=PC×PD 是普遍成立的。证明完毕。

这几年级的

看不懂。。。