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【思想方法诠释】
1.分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度.2.分类讨论的常见类型: (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身就是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等. (5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. 3.分类讨论的一般流程: 图片:01.PNG 图片:02.PNG 注:(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,这时要小心,应根据题目条件确定是否进行分类讨论. (2)分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零,是正数,还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题、差值比较中的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等. (3)在构建数学模型解决实际问题的过程中,往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起分类讨论,特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想,解题目时要注意分类的原则是“不重不漏”. 要点考向3:根据字母的取值情况分类讨论 图片:03.PNG |
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