[资料共享]解决概率，排列组合的相关问题的知识

1两个基本原理
一、教学目标
1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力
二、教材分析
1.重点：加法原理，乘法原理。      解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．
2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．
三、活动设计
1.活动：思考，讨论，对比，练习．
2.教具：多媒体课件．
四、教学过程正
1．新课导入
　　随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。
    排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．
2．新课
我们先看下面两个问题．
(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
板书：图
    因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．
    一般地，有如下原理：
    加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十mn种不同的方法．
(2) 我们再看下面的问题：
　　由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
　　板书：图
    这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．
    一般地，有如下原理：
　　乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…mn种不同的方法．
    例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
    1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
    2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？
解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．
　　答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．
　　（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N＝6X5＝30．
　　答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．
　　练习：  一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1）从中任取一枚，有多少种不同取法？   2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？
　　例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？
　　　　　(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
　　　　　(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
    解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，
这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．
      答：可以组成125个三位数．  
练习：
1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？
3．题2的变形
4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法
        其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
【复习基本原理】
1.加法原理   做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
　　　　　　　　　N=m1+m2+m3+…mn    
　　　　　　　　　 种不同的方法.
2.乘法原理   做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有
                        N=m1m2m3…mn
【排列数】
定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
排列数公式：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
课题：排列的简单应用(1)
目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式，会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
过程：
　　一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）
　  1．排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题；
　　2．排列数的定义，排列数的计算公式
　　　或  （其中m≤n  m,nZ）
　  3．全排列、阶乘的意义；规定 0!=1
　  4．“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用．
　　二、新授：
　　　例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
         解：问题可以看作：7个元素的全排列——＝5040
　　　⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
         解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040
　　⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
　　　    解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——=720
　　　⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
    解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有种；第二步 余下的5名同学进行全排列有种  则共有=240种排列方法
　⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
         解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法  所以一共有＝2400种排列方法．
　　　　　解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法．所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400种．
    小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑．
　　　例2 ： 7位同学站成一排．
      ⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝1440种．
　⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
　　  解：方法同上，一共有＝720种．
　⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
      解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有＝960种方法．
　　　解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，
若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法．
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，
　再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有＝960种方法．
　　　小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．
　　　例3： 7位同学站成一排．
　　⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
　　解法一：（排除法）
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有种方法．
　　⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
        解：先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法，所以一共有＝1440种．
　　　小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．
  三、小结：
　1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；
⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；
⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
　2．基本的解题方法：
　⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优限法）；
　⑵ 某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；
　⑶ 某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
　⑷ 在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基．

4排  列
课题：排列的简单应用(2)
目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进一步培养分析问题、解决问题的能力，同时让学生学会一题多解．
过程：
　　一、复习：
　  1．排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；
2．常见的排队的三种题型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法；
　　　⑵某些元素要求连排（即必须相邻）——捆绑法；
　　　⑶某些元素要求分离（即不能相邻）——插空法．
　　3．分类、分布思想的应用．
　　二、新授：
示例一：　从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
      解法一：（从特殊位置考虑）
      解法二：（从特殊元素考虑）若选：  若不选：
　　　　　　　　　则共有 ＋＝136080
　　　解法三：（间接法）136080
　　　示例二：
　⑴ 八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，
　　　则共有多少种不同的排法？
    略解：甲、乙排在前排；丙排在后排；其余进行全排列．
　所以一共有＝5760种方法．
　⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？
　　    略解：（“捆绑法”和“插空法”的综合应用）a, b捆在一起与e进行排列有；
      此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有；最后将a, b“松绑”有．所以一共有＝24种方法．
　☆⑶ 6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？
　　略解：（分类）若第一个为老师则有；若第一个为学生则有
　　             所以一共有2＝72种方法．
　　　示例三：
　　　　⑴ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的正整数？
　　　　略解：
　⑵ 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？
　解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有种方法；另一类是首位不为1，有种方法．所以一共有个数比13 000大．
　解法二：（排除法）比13 000小的正整数有个，所以比13 000大的正整数有＝114个．
示例四： 用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，由小到大排列．
⑴ 第114个数是多少？  ⑵ 3 796是第几个数？
解：⑴ 因为千位数是1的四位数一共有个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个；同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3 968”排在第6个位置上，所以“3 968” 是第114个数．
　⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有60＋12＋12＝84个，而3 796在“37”开头的四位数中排在第11个（倒数第二个），故3 796是第95个数．
示例五： 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中
　　　　⑴ 能被25整除的数有多少个？
　　　　⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个？
         解： ⑴ 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有＋＝21个．
           注： 能被25整除的四位数的末两位只能为25，50，75，00四种情况．
　⑵ 用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，一共有个．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的有个．
三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助一题多解检验答案的正确性．
2．提出问题：
示例1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的．
引出课题：组合问题．
　　二、新授：
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
　　　　  注：1．不同元素   2．“只取不排”——无序性   3．相同组合：元素相同
　　    判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
　　　　  ⑴ 从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）
　　　　　⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．
     例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有种组合．
     又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：
          在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问
　　　题，关键是看是否与顺序有关．
     那么又如何计算呢？
　3．组合数公式的推导
　　　⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢？
启发： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：
       组 合                  排列
     由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：＝，所以：．
⑵ 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分布计数原理得：
 

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