[资料共享]三次函数切线问题

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更多发布于：2021-07-29 19:53

已知一点P(x₁,y₁),过点P做三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a不为0）的切线，切线的条数有多少条，我们可以转化为一元三次方程根的问题.
求解步骤如下：
（1）设切点为Q（x0,ax0³+bx0²+cx0+d)是曲线上一点，则点Q处的切线斜率为k=f`(x0)=3ax0²+2bx0+c,切线方程也可以表示为I:y-(ax0³+bx0²+cx0+d)=(3ax0²+2bx0+c)(x-xo)
(2)此时我们知道，如果我们求出x0的值，那么我们就一定能求出切线I的方程，换句话说，我们知道有多少个x0的值，就对应有多少条切线；
（3）此时此刻，我们只需将P（x1,y1）带入切线I的方程，就会得到一个关于x0的一元三次方程，2axo³+(b-3ax₁)xo²-2bx₁x0+y₁-d-cx₁=0,方程可以简写为：Ax³+Bx²+Cx+D=0(A不为0），方程有几个解，就对应几条切线；
（4）构造函数g（x）=Ax³+Bx²+Cx+D（A不为0），判断此函数的零点个数.
例1：过点（0，8)作曲线f(x)=x³-6x²+9x的切线，则这样的切线条数为？
解答：设过点（0，8）的切线切曲线于点（x₁,y₁)
则切线的斜率k=f`（x₁）=3x₁²-12x₁+9
所以切线方程为y=(3x₁²-12x₁+9)x+8
故y₁=(3x₁²-12x₁+9)x₁+8=x₁³-6x₁²+9x₁
所以x₁³-3x₁²+4=0
所以x₁=-1或2
所以满足条件的切线有2条
例2：已知函数f(x)=x³-3ax-1,a≠0.设h(x)=f(x)+(3a-1)x+1，证明过点P(2,1)可以作曲线h(x）的三条切线.
解答：依题可得，h(x)=x³-x,则h`(x)=3x²-1
则h(x)在（t,h(t))处的切线为y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t)
若切线过点P(2,1),则2t³-6t²+3=0（即将P点带入切线方程中）
过P点可以作曲线h(x)的三条切线等价于方程有三个不同解
设g(t)=2t³-6t²+3,则g`(t)=6t²-12t=6t(t-2)
因为g(t)在R上有唯一极大值g(0)=3﹥0和唯一极小值g(2)=-5﹤0
且在极大值点左侧存在g(-1)=-5＜0,在极小值点右侧存在g(3)=3﹥0
因此方程g(t)有三个不同解
所以过点P(2,1)可以作曲线h(x)的三条切线.

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